{"570":"570","Bei AvisQnect siehst du den Qredit-Preis jedes Tutors transparent und kannst Online-Nachhilfe flexibel auswählen.":"Bei AvisQnect siehst du den Qredit-Preis jedes Tutors transparent und kannst Online-Nachhilfe flexibel auswählen.","Besuche unser FAQ oder schreibe uns über das Kontaktformular.":"Besuche unser FAQ oder schreibe uns über das Kontaktformular.","Bist du unsicher, ob Nachhilfe in deiner Situation helfen kann?":"Bist du unsicher, ob Nachhilfe in deiner Situation helfen kann?","Brauchst du Hilfe beim Satz des Pythagoras oder bei Geometrie?":"Brauchst du Hilfe beim Satz des Pythagoras oder bei Geometrie?","Brauchst du Unterstützung auf dem Weg zum Schulabschluss?":"Brauchst du Unterstützung auf dem Weg zum Schulabschluss?","Brauchst du neben dem Schulvergleich Unterstützung beim Schulwechsel?":"Brauchst du neben dem Schulvergleich Unterstützung beim Schulwechsel?","Brauchst du neben den Arbeitsblättern persönliche Unterstützung?":"Brauchst du neben den 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Online-Tutor kann Rechenwege oder Lösungsstrategien mit dir Schritt für Schritt erarbeiten.":"Ein Online-Tutor kann Rechenwege oder Lösungsstrategien mit dir Schritt für Schritt erarbeiten.","Ein Online-Tutor kann dir helfen, Grundlagen im eigenen Tempo wieder aufzubauen und Fragen direkt zu klären.":"Ein Online-Tutor kann dir helfen, Grundlagen im eigenen Tempo wieder aufzubauen und Fragen direkt zu klären.","Ein Online-Tutor kann passende Lernmethoden mit dir anwenden und fachliche Fragen persönlich erklären.":"Ein Online-Tutor kann passende Lernmethoden mit dir anwenden und fachliche Fragen persönlich erklären.","Ein passender Online-Tutor kann Lernlücken eingrenzen und mit dir an einem realistischen Lernziel arbeiten.":"Ein passender Online-Tutor kann Lernlücken eingrenzen und mit dir an einem realistischen Lernziel arbeiten.","Ein passender Online-Tutor kann Lernlücken früh erkennen und den Einstieg in die neue Schule unterstützen.":"Ein passender Online-Tutor kann Lernlücken früh erkennen und den Einstieg in die neue Schule unterstützen.","Ein passender Online-Tutor kann die Ursachen eingrenzen und genau an den fachlichen Lücken ansetzen.":"Ein passender Online-Tutor kann die Ursachen eingrenzen und genau an den fachlichen Lücken ansetzen.","Fachliche Sicherheit aufbauen":"Fachliche Sicherheit aufbauen","Fehlen dir Grundlagen für Ausbildung oder Weiterbildung?":"Fehlen dir Grundlagen für Ausbildung oder Weiterbildung?","Fehlt neben guten Strategien auch fachliche Sicherheit?":"Fehlt neben guten Strategien auch fachliche Sicherheit?","Fällt dir der Wiedereinstieg ins Lernen schwer?":"Fällt dir der Wiedereinstieg ins Lernen schwer?","Fällt es dir schwer, deinen Lernplan konsequent umzusetzen?":"Fällt es dir schwer, deinen Lernplan konsequent umzusetzen?","Gezielte Online-Nachhilfe kann Grundlagen festigen und deinem Kind den fachlichen Einstieg an der neuen Schule erleichtern.":"Gezielte Online-Nachhilfe kann Grundlagen festigen und deinem Kind den fachlichen Einstieg an der neuen Schule erleichtern.","Gezielte Online-Nachhilfe kann dir helfen, Unsicherheiten in einzelnen Prüfungsfächern rechtzeitig aufzuarbeiten.":"Gezielte Online-Nachhilfe kann dir helfen, Unsicherheiten in einzelnen Prüfungsfächern rechtzeitig aufzuarbeiten.","Gezielte Online-Nachhilfe kann fachliche Unsicherheiten auffangen und den Einstieg in neue Anforderungen erleichtern.":"Gezielte Online-Nachhilfe kann fachliche Unsicherheiten auffangen und den Einstieg in neue Anforderungen erleichtern.","Gezielte Online-Nachhilfe kann helfen, Grundlagen aufzufrischen und Prüfungen strukturiert vorzubereiten.":"Gezielte Online-Nachhilfe kann helfen, Grundlagen aufzufrischen und Prüfungen strukturiert vorzubereiten.","Gezielte Online-Nachhilfe kann helfen, entscheidende Lücken zu priorisieren und die verbleibende Zeit sinnvoll zu nutzen.":"Gezielte Online-Nachhilfe kann helfen, entscheidende Lücken zu priorisieren und die verbleibende Zeit sinnvoll zu nutzen.","In der Online-Nachhilfe kannst du Geometrie anschaulich üben und Unsicherheiten Schritt für Schritt klären.":"In der Online-Nachhilfe kannst du Geometrie anschaulich üben und Unsicherheiten Schritt für Schritt klären.","In der Online-Nachhilfe kannst du die Aufgabe gemeinsam mit einem Tutor nachvollziehen und ähnliche Aufgaben üben.":"In der Online-Nachhilfe kannst du die Aufgabe gemeinsam mit einem Tutor nachvollziehen und ähnliche Aufgaben üben.","In der Online-Nachhilfe können Aufgaben gemeinsam besprochen und offene Fragen direkt geklärt werden.":"In der Online-Nachhilfe können Aufgaben gemeinsam besprochen und offene Fragen direkt geklärt werden.","In diesem Artikel":"In diesem Artikel","In einer ersten Online-Stunde könnt ihr Lernziele, Schwierigkeiten und die passende Unterstützung gemeinsam einordnen.":"In einer ersten Online-Stunde könnt ihr Lernziele, Schwierigkeiten und die passende Unterstützung gemeinsam einordnen.","Inhaltsverzeichnis":"Inhaltsverzeichnis","Inhaltsverzeichnis ausklappen":"Inhaltsverzeichnis ausklappen","Inhaltsverzeichnis einklappen":"Inhaltsverzeichnis einklappen","Ist der Lösungsweg noch nicht vollständig klar?":"Ist der Lösungsweg noch nicht vollständig klar?","Ist die Schule gewählt, aber fachlich sind noch Fragen offen?":"Ist die Schule gewählt, aber fachlich sind noch Fragen offen?","Ist die Versetzung gefährdet und fachliche Hilfe nötig?":"Ist die Versetzung gefährdet und fachliche Hilfe nötig?","Kommst du bei den Aufgaben noch nicht sicher weiter?":"Kommst du bei den Aufgaben noch nicht sicher weiter?","Lernplan mit Tutor konkretisieren":"Lernplan mit Tutor konkretisieren","Lernziel mit Tutor angehen":"Lernziel mit Tutor angehen","Läuft die Vorbereitung auf das Abitur noch nicht wie geplant?":"Läuft die Vorbereitung auf das Abitur noch nicht wie geplant?","Mit Online-Nachhilfe kann dein Kind wichtige Grundlagen vor dem Wechsel gezielt aufarbeiten.":"Mit Online-Nachhilfe kann dein Kind wichtige Grundlagen vor dem Wechsel gezielt aufarbeiten.","Mit Online-Nachhilfe kann dein Kind wichtige Themen priorisieren, ohne die gesamten Ferien mit Lernen zu verbringen.":"Mit Online-Nachhilfe kann dein Kind wichtige Themen priorisieren, ohne die gesamten Ferien mit Lernen zu verbringen.","Mit Online-Nachhilfe kannst du fachliche Lücken gezielt schließen und dich auf neue Anforderungen vorbereiten.":"Mit Online-Nachhilfe kannst du fachliche Lücken gezielt schließen und dich auf neue Anforderungen vorbereiten.","Mit Online-Nachhilfe kannst du gezielt an den Fächern arbeiten, die deinen Durchschnitt besonders beeinflussen.":"Mit Online-Nachhilfe kannst du gezielt an den Fächern arbeiten, die deinen Durchschnitt besonders beeinflussen.","Mit gezielter Online-Nachhilfe lassen sich Lernlücken früh schließen und neue Inhalte sicherer angehen.":"Mit gezielter Online-Nachhilfe lassen sich Lernlücken früh schließen und neue Inhalte sicherer angehen.","Mit passender Online-Nachhilfe kannst du dich gezielt auf den nächsten Bildungsweg vorbereiten.":"Mit passender Online-Nachhilfe kannst du dich gezielt auf den nächsten Bildungsweg vorbereiten.","Möchtest du Lernfortschritte gezielt unterstützen?":"Möchtest du Lernfortschritte gezielt unterstützen?","Möchtest du Wissenslücken vor Ausbildung oder Studium schließen?":"Möchtest du Wissenslücken vor Ausbildung oder Studium schließen?","Möchtest du dein Kind beim Übergang gezielt unterstützen?":"Möchtest du dein Kind beim Übergang gezielt unterstützen?","Möchtest du dein Kind fachlich auf den Schulwechsel vorbereiten?":"Möchtest du dein Kind fachlich auf den Schulwechsel vorbereiten?","Möchtest du dich fachlich auf dein Studium vorbereiten?":"Möchtest du dich fachlich auf dein Studium vorbereiten?","Möchtest du einen passenden Tutor direkt kennenlernen?":"Möchtest du einen passenden Tutor direkt kennenlernen?","Möchtest du passende Nachhilfe unverbindlich kennenlernen?":"Möchtest du passende Nachhilfe unverbindlich kennenlernen?","Nachhilfe ersetzt keine Diagnostik oder Therapie, kann aber helfen, Lernstoff individuell und in kleinen Schritten zu bearbeiten.":"Nachhilfe ersetzt keine Diagnostik oder Therapie, kann aber helfen, Lernstoff individuell und in kleinen Schritten zu bearbeiten.","Noch Fragen zu deinem Bildungsweg oder zur Lernunterstützung?":"Noch Fragen zu deinem Bildungsweg oder zur Lernunterstützung?","Online-Nachhilfe kann Grundlagen festigen und den fachlichen Start an der weiterführenden Schule erleichtern.":"Online-Nachhilfe kann Grundlagen festigen und den fachlichen Start an der weiterführenden Schule erleichtern.","Online-Nachhilfe kann Wissenslücken schließen und durch gezielte Vorbereitung mehr Sicherheit vor Prüfungen schaffen.":"Online-Nachhilfe kann Wissenslücken schließen und durch gezielte Vorbereitung mehr Sicherheit vor Prüfungen schaffen.","Online-Nachhilfe kann bekannte Lernlücken schließen und dein Kind auf die Anforderungen der neuen Schule vorbereiten.":"Online-Nachhilfe kann bekannte Lernlücken schließen und dein Kind auf die Anforderungen der neuen Schule vorbereiten.","Online-Nachhilfe kann bekannte Lücken vor dem Schulwechsel schließen und Sicherheit für neue Fächer schaffen.":"Online-Nachhilfe kann bekannte Lücken vor dem Schulwechsel schließen und Sicherheit für neue Fächer schaffen.","Online-Nachhilfe kann dir fachliche Struktur geben und offene Fragen während der Prüfungsvorbereitung direkt klären.":"Online-Nachhilfe kann dir fachliche Struktur geben und offene Fragen während der Prüfungsvorbereitung direkt klären.","Online-Nachhilfe kann fehlende Grundlagen festigen und neue Rechenwege Schritt für Schritt erklären.":"Online-Nachhilfe kann fehlende Grundlagen festigen und neue Rechenwege Schritt für Schritt erklären.","Online-Nachhilfe kann gezielt fördern und lässt sich unter bestimmten Voraussetzungen über Bildung und Teilhabe finanzieren.":"Online-Nachhilfe kann gezielt fördern und lässt sich unter bestimmten Voraussetzungen über Bildung und Teilhabe 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Zuletzt redaktionell geprüft und aktualisiert am {{date}}.":"Redaktionell erstellt von der AvisQnect-Redaktion. 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Wenn du Grundwert, Prozentwert und Prozentsatz auseinanderhältst, kannst du Rabatte, Klassenstatistiken und viele Textaufgaben sicher berechnen.","article_practice_backLabel":"Zurück zu Prozentrechnung","article_quiz_0_explanation":"Das Ganze sind alle 32 Schüler.","article_quiz_0_options_0_label":"8","article_quiz_0_options_1_label":"24","article_quiz_0_options_2_label":"32","article_quiz_0_options_3_label":"25 Prozent","article_quiz_0_question":"Was ist der Grundwert bei 8 Fahrradfahrern in einer Klasse mit 32 Schülern?","article_quiz_1_explanation":"80 mal 0,15 ergibt 12.","article_quiz_1_options_0_label":"12 €","article_quiz_1_options_1_label":"15 €","article_quiz_1_options_2_label":"68 €","article_quiz_1_options_3_label":"95 €","article_quiz_1_question":"Wie viel sind 15 Prozent von 80 €?","article_quiz_2_explanation":"Prozentpunkte sind die direkte Differenz der beiden Prozentangaben.","article_quiz_2_options_0_label":"33,3","article_quiz_2_options_1_label":"70","article_quiz_2_options_2_label":"40","article_quiz_2_options_3_label":"10","article_quiz_2_question":"Ein Anteil steigt von 30 auf 40 Prozent. Um wie viele Prozentpunkte?","article_sections_0_paragraphs_0":"Der Grundwert G ist das Ganze und entspricht 100 Prozent. Der Prozentwert W ist der betrachtete Teil. Der Prozentsatz p gibt an, wie groß dieser Teil relativ zum Ganzen ist. Frage bei jeder Aufgabe zuerst: Was ist hier das Ganze?","article_sections_0_paragraphs_1":"Prozent bedeutet „von hundert“ und macht unterschiedlich große Gesamtmengen vergleichbar. Zehn von zwanzig Personen bilden denselben Anteil wie fünfzig von hundert Personen. 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Wer stattdessen mit einem Dezimalfaktor arbeitet, verwendet für 20 Prozent den Faktor 0,20 und teilt nicht noch einmal durch 100.","article_sections_1_paragraphs_1":"Überlege vor der Formelwahl, welche beiden Größen bekannt sind und welche gesucht ist. Die drei Formeln sind Umstellungen desselben Zusammenhangs und keine voneinander unabhängigen Regeln. Die Einheit hilft ebenfalls: Ein Prozentsatz ist ein Verhältnis, während Grundwert und Prozentwert beispielsweise beide in € angegeben werden.","article_sections_1_title":"Die drei Grundformeln","article_sections_2_paragraphs_1":"Die 60 € sind hier die Bezugsgröße, weil sich der Rabatt auf den ursprünglichen Preis bezieht. Ein Rabatt von 15 Prozent bedeutet, dass von jeweils 100 € Preis 15 € entfallen würden. Da der tatsächliche Preis kleiner ist, muss auch der Rabattbetrag entsprechend kleiner sein.","article_sections_2_title":"Einen Anteil berechnen","article_sections_3_paragraphs_1":"Du vergleichst die Fahrradfahrer mit allen Schülern, nicht mit den übrigen zwanzig Schülern. Der Nenner deiner Verhältnisrechnung ist daher die ganze Klasse. Bei einer anders gestellten Frage, etwa zum Verhältnis von Fahrradfahrern zu Nicht-Fahrradfahrern, wäre der Bezugswert ein anderer.","article_sections_3_title":"Den Prozentsatz bestimmen","article_sections_4_paragraphs_1":"Rückwärtsrechnen funktioniert, weil derselbe Prozentanteil für jede gleich große Einheit des Grundwerts gilt. Wenn 20 Prozent zwölf € sind, müssen 100 Prozent fünfmal so viel sein. Frage bei einem bereits reduzierten Preis besonders genau nach, ob er den Rabattbetrag oder den verbleibenden Anteil beschreibt.","article_sections_4_title":"Das Ganze aus einem Anteil zurückrechnen","article_sections_5_paragraphs_0":"Für eine Erhöhung addierst du den Anteil zum Ganzen, für eine Senkung ziehst du ihn ab. Bei mehreren Veränderungen ist der neue Wert jeweils der nächste Grundwert. Deshalb heben sich 20 Prozent Erhöhung und anschließend 20 Prozent Senkung nicht auf.","article_sections_5_paragraphs_1":"Ein neuer Preis wird bei einer weiteren Änderung zum neuen Grundwert. Frage bei jedem Schritt erneut, welcher Betrag jetzt 100 % entspricht. Eine Erhöhung um 20 % bedeutet den Faktor 1,2, eine Senkung um 20 % den Faktor 0,8.","article_sections_5_title":"Erhöhungen, Rabatte und veränderte Grundwerte","article_sections_6_title":"Prozent und Prozentpunkte unterscheiden","article_sections_7_paragraphs_1":"Notiere neben den Zahlen zuerst „Ganzes“, „Teil“ und „Anteil“, bevor du sie in eine Formel einsetzt. So erkennst du eher, ob eine Prozentangabe zum alten oder neuen Wert gehört. Eine überschlägige Rechnung mit zehn oder fünfzig Prozent bietet anschließend eine einfache Größenkontrolle.","article_sections_7_title":"Diese Verwechslungen passieren bei Prozenten","article_supportButtonLabel":"Thema mit Tutor verstehen","article_supportText":"Übe Grundwert, Prozentwert und Prozentsatz gemeinsam mit einem Tutor anhand verständlicher Aufgaben.","article_title":"Prozentrechnung","article_topic_backLabel":"Zurück zu Mathematik-Themen einfach erklärt","article_topic_label":"Arithmetik","change_answer":"Am Ende kostet der Artikel 96 €. Der Preis liegt damit 4 € unter dem ursprünglichen Preis. Gleiche Prozentsätze heben sich bei unterschiedlichen Grundwerten nicht auf.","change_approach":"Nach der Erhöhung sind 120 € der neue Grundwert. Der zweite Prozentsatz bezieht sich auf diese 120 €, nicht auf die ursprünglichen 100 €. Deshalb ist die anschließende Ermäßigung mit 24 € größer als die erste Erhöhung mit 20 €.","change_task":"Ein Preis von 100 € steigt zuerst um 20 % und sinkt danach um 20 %. Wie hoch ist der Preis am Ende?","editorial_related_description":"Übertrage Grundwert, Prozentwert und Prozentsatz auf Verhältnisse und Alltagssituationen.","editorial_related_parts_0":"Wenn du Prozentaufgaben über 1 % oder 100 % lösen möchtest, nutze den ","editorial_related_parts_1_label":"Dreisatz","editorial_related_parts_2":". Beim ","editorial_related_parts_3_label":"Textaufgaben lösen","editorial_related_parts_4":" übst du, das Ganze und den gesuchten Anteil aus einer Beschreibung herauszulesen. Der Artikel ","editorial_related_parts_5_label":"Brüche multiplizieren und dividieren","editorial_related_parts_6":" erklärt außerdem, warum das Multiplizieren mit einem Anteil und das Zurückrechnen zum Ganzen funktionieren.","editorial_related_title":"Prozentangaben mit anderen Rechenwegen verbinden","editorial_sources_0_label":"OpenStax: Solve general applications of percent","editorial_sources_1_label":"OpenStax: Solve proportions and their applications","grundwert_answer":"Der ursprüngliche Preis beträgt 60 €. Nach Abzug der 12 € Rabatt kostet der Pullover 48 €.","grundwert_approach":"Die 12 € sind der Rabattbetrag W, denn sie sind nur der betrachtete Teil des ursprünglichen Preises. Die 20 % sind p. Gesucht ist das Ganze G, also der Preis bei 100 %. Teile den Teilbetrag durch 20, um 1 % zu erhalten, und multipliziere anschließend mit 100. Für den Kaufpreis ziehst du danach die gesparten 12 € ab.","grundwert_task":"Du sparst beim Kauf eines Pullovers 12 €. Das entspricht 20 % des ursprünglichen Preises. Wie teuer war der Pullover vor dem Rabatt und was kostet er jetzt?","page_imageAlt":"Geldbeträge als Einstieg in die Prozentrechnung","page_overviewTitle":"Prozentrechnung","page_seoDescription":"Grundwert, Prozentwert und Prozentsatz unterscheiden, Rabatte und Erhöhungen berechnen und Prozentpunkte verstehen. Mit Beispielen und Mini-Quiz.","page_seoTitle":"Prozentrechnung: einfach erklärt mit Beispielen","page_summary":"Grundwert, Prozentwert und Prozentsatz verstehen und Rabatte berechnen.","page_title":"Prozentrechnung","points_answer":"Der Anteil steigt um 5 Prozentpunkte. Das entspricht einer relativen Steigerung um 25 %. Eine Steigerung um nur 5 % hätte den ursprünglichen Anteil von 20 % dagegen lediglich auf 21 % erhöht.","points_approach":"Für Prozentpunkte berechnest du nur die Differenz der Prozentzahlen. Für die relative Veränderung teilst du diese Differenz durch die ursprüngliche Prozentzahl 20 und multiplizierst mit 100. „Relativ“ bedeutet hier: im Verhältnis zum bisherigen Wert.","points_p0":"Prozentpunkte beschreiben den Abstand zwischen zwei Prozentangaben. Du ziehst dazu die Prozentzahlen direkt voneinander ab. Eine Veränderung „um x Prozent“ stellt dagegen die Änderung ins Verhältnis zum alten Wert. Dafür brauchst du also zusätzlich eine Bezugsgröße. Es sind zwei verschiedene Antworten auf zwei verschiedene Fragen.","points_p1":"Stell dir eine Schule mit unverändert 100 Kindern vor. Zuerst fahren 20 Kinder mit dem Fahrrad, später 25. Das sind 5 Kinder mehr von insgesamt 100, also 5 Prozentpunkte mehr beim Anteil. Im Verhältnis zu den ursprünglichen 20 Radfahrenden sind 5 zusätzliche Kinder aber ein Viertel mehr. Die Zahl der Radfahrenden ist somit um 25 % gestiegen.","points_task":"Ein Anteil steigt von 20 % auf 25 %. Um wie viele Prozentpunkte und um wie viel Prozent ist er gestiegen?","prozentsatz_answer":"20 % der Klasse kommen mit dem Fahrrad zur Schule. Als Gegenprobe: Ein Fünftel von 25 Kindern sind genau 5 Kinder.","prozentsatz_approach":"Alle 25 Kinder bilden das Ganze G und entsprechen 100 %. Die 5 Radfahrenden bilden den Teil W. Teile die Anzahl dieses Teils durch die Gesamtzahl. Das Ergebnis 0,2 bedeutet zwei Zehntel der Klasse. Multipliziere mit 100, um diesen Anteil als Prozentzahl auszudrücken.","prozentsatz_task":"Von insgesamt 25 Kindern kommen 5 mit dem Fahrrad zur Schule. Wie viel Prozent der Klasse sind das?","prozentwert_answer":"Der Rabattbetrag beträgt 9 €. Der Pullover kostet mit dem Rabatt nur noch 51 €.","prozentwert_approach":"Der ursprüngliche Preis von 60 € ist das Ganze, also G. Die 15 % beschreiben den Anteil, also p. Gesucht ist zuerst der Rabattbetrag W. Teile den Preis durch 100, um den Wert von 1 % zu finden, und multipliziere mit 15. Ziehe erst danach den Rabattbetrag vom ursprünglichen Preis ab.","prozentwert_task":"Ein Pullover kostet ursprünglich 60 €. Du erhältst 15 % Rabatt. Wie hoch ist der Rabattbetrag und wie viel kostet der Pullover danach?","reference_header_0":"Formulierung","reference_header_1":"Hinweis auf","reference_header_2":"So erkennst du die Größe","reference_p0":"Frage zuerst: „Worauf beziehen sich die 100 %?“ Genau dieses Ganze ist der Grundwert G. Bei einem Rabatt ist das der ursprüngliche Preis vor dem Rabatt. Bei einer Klasse ist es die Gesamtzahl der betrachteten Schülerinnen und Schüler. Der Prozentwert W ist dagegen der Betrag oder die Anzahl, die zu dem angegebenen Prozentsatz gehört. Er ist keine Prozentangabe, sondern hat dieselbe Einheit wie G, beispielsweise € oder Personen.","reference_p1":"Markiere beim Lesen das Ganze, den betrachteten Anteil und die Frage. „Wie viel € Rabatt?“ fragt nach W, „Wie viel Prozent?“ nach p und „Wie teuer war der Pullover vorher?“ nach G. Achtung: „Anteil“ kann einen Betrag oder einen Prozentsatz meinen. Entscheidend sind Frage und Einheit. Auch der größere Betrag ist nicht automatisch G, denn bei mehr als 100 % kann W größer als G sein.","reference_row_0_0":"„insgesamt“, „gesamt“, „alle“","reference_row_0_1":"Grundwert G","reference_row_0_2":"Alle 25 Kinder sind 100 %. Die 5 Radfahrenden sind ein Teil davon.","reference_row_1_0":"„ursprünglicher Preis“, „vor dem Rabatt“","reference_row_1_1":"Grundwert G","reference_row_1_2":"Beim Pullover sind 60 € der Preis, auf den sich die 15 % Rabatt beziehen.","reference_row_2_0":"„Rabattbetrag“, „gesparte €“, „wie viele davon“","reference_row_2_1":"Prozentwert W","reference_row_2_2":"Gesucht ist der konkrete Teilbetrag oder die konkrete Anzahl, etwa 9 € Rabatt.","reference_row_3_0":"„15 % von 60 €“, „15 % Rabatt auf 60 €“","reference_row_3_1":"60 € sind G, der Rabattbetrag ist W","reference_row_3_2":"„von“ und „auf“ leiten hier die Bezugsgröße ein. 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Zum Berechnen musst du deshalb wissen, auf welchen Körper die Kräfte wirken, welche Richtung sie haben und ob sie sich gegenseitig ausgleichen. Hier lernst du Newtons Grundgesetz, die Gewichtskraft und das Kräftegleichgewicht mit Einheiten und vollständig erklärten Beispielen.","sections_0_title":"Was eine Kraft beschreibt","sections_0_paragraphs_0":"Beim Schieben eines Wagens, Spannen eines Gummibands oder Abbremsen eines Fahrrads wirken Kräfte. Sie sind nicht direkt als „Bewegung“ sichtbar, sondern an ihren Wirkungen. Ein Körper kann trotz mehrerer Kräfte ruhen, wenn sie sich ausgleichen. Er kann sich auch gleichförmig geradlinig bewegen, obwohl die resultierende Kraft null ist.","sections_0_paragraphs_1":"Kraft ist eine gerichtete Größe, also ein Vektor. Ein Kraftpfeil zeigt Richtung und bei einer maßstäblichen Zeichnung auch Betrag. Für einfache Aufgaben entlang einer Linie kannst du eine positive Richtung wählen und entgegengesetzte Kräfte mit negativem Vorzeichen berücksichtigen.","sections_0_table_headers_0":"Größe","sections_0_table_headers_1":"Formelzeichen","sections_0_table_headers_2":"Einheit","sections_0_table_rows_0_0":"Kraft","sections_0_table_rows_0_2":"Newton (N)","sections_0_table_rows_1_0":"Masse","sections_0_table_rows_1_2":"Kilogramm (kg)","sections_0_table_rows_2_0":"Beschleunigung","sections_0_table_rows_3_0":"Ortsfaktor","sections_0_table_rows_3_2":"N/kg oder m/s²","sections_1_title":"Newtons Grundgesetz richtig anwenden","sections_1_paragraphs_0_text":"Bei konstanter Masse ist die resultierende äußere Kraft gleich Masse mal Beschleunigung. Resultierend bedeutet: Alle auf den betrachteten Körper wirkenden äußeren Kräfte werden mit ihren Richtungen zusammengefasst. Die Formel beschreibt deshalb nicht automatisch eine einzelne Zugkraft.","sections_1_paragraphs_1":"Verdoppelst du bei gleicher Masse die resultierende Kraft, verdoppelt sich die Beschleunigung. Verdoppelst du bei gleicher resultierender Kraft die Masse, halbiert sich die Beschleunigung. Das gilt im üblichen Rahmen der klassischen Schulmechanik und bei unveränderten übrigen Bedingungen.","sections_2_title":"Nach Kraft, Masse oder Beschleunigung umstellen","sections_2_paragraphs_0":"Lies zuerst ab, welche Größe gesucht ist. Für den Betrag der resultierenden Kraft multiplizierst du Masse und Beschleunigungsbetrag. Ist die Beschleunigung gesucht, teilst du den Kraftbetrag durch die Masse. Soll die Masse bestimmt werden, teilst du durch den von null verschiedenen Beschleunigungsbetrag.","sections_2_paragraphs_1":"Wenn keine Beschleunigung vorliegt und die resultierende Kraft null ist, kannst du aus diesen beiden Angaben die Masse nicht bestimmen. Null geteilt durch null ist kein sinnvoller Rechenschritt. Für eine Masse brauchst du dann eine andere Information, zum Beispiel eine bekannte Gewichtskraft und den Ortsfaktor.","sections_3_title":"Einheiten vor der Rechnung überprüfen","sections_3_paragraphs_0":"Setze die Masse in Kilogramm und die Beschleunigung in Metern pro Sekunde zum Quadrat ein, wenn das Ergebnis in Newton sein soll. Gramm müssen vorher umgerechnet werden. Auch Kilometer pro Stunde sind keine Beschleunigung, sondern eine Geschwindigkeit. Eine Kraft lässt sich nicht allein aus Masse und momentaner Geschwindigkeit bestimmen.","sections_3_paragraphs_1":"Wenn in der Aufgabe eine Geschwindigkeitsänderung über eine Zeitspanne gegeben ist, bestimme zunächst die mittlere Beschleunigung. Bei konstanter Masse liefert sie entsprechend die mittlere resultierende Kraft in diesem Zeitraum. Eine Momentankraft braucht die Beschleunigung im jeweiligen Moment.","sections_4_title":"Gewichtskraft und Masse unterscheiden","sections_4_paragraphs_0":"Die Masse beschreibt, wie träge ein Körper ist, und wird in Kilogramm angegeben. Die Gewichtskraft entsteht durch die gravitative Anziehung und wird in Newton angegeben. Derselbe Körper hat auf dem Mond näherungsweise dieselbe Masse wie auf der Erde, aber eine kleinere Gewichtskraft, weil der Ortsfaktor dort kleiner ist.","sections_4_paragraphs_1":"Nahe der Erdoberfläche kannst du häufig mit einem Ortsfaktor von ungefähr 9,81 Newton pro Kilogramm rechnen. In manchen Schulaufgaben wird vereinfacht 10 verwendet. Nimm den in der Aufgabe angegebenen Wert. Die Gewichtskraft wirkt zum Erdmittelpunkt und in einer lokalen Skizze normalerweise nach unten.","sections_5_title":"Mehrere Kräfte zur resultierenden Kraft zusammenfassen","sections_5_paragraphs_0":"Wirken zwei Kräfte entlang derselben Linie in dieselbe Richtung, addierst du ihre Beträge. Wirken sie entgegengesetzt, bildest du die Differenz und gibst die Richtung der stärkeren Kraft an. Entscheidend ist, dass beide Kräfte auf denselben Körper wirken.","sections_5_paragraphs_1":"Bei unterschiedlichen Richtungen reicht einfaches Addieren der Beträge nicht. Für zwei zueinander senkrechte Kräfte kannst du den Betrag der Resultierenden mit dem Satz des Pythagoras bestimmen. Bei anderen Winkeln helfen Kräfteparallelogramm oder Komponenten. Die Pythagoras-Formel gilt hier nur bei einem rechten Winkel.","sections_6_title":"Kräftegleichgewicht bedeutet keine Beschleunigung","sections_6_paragraphs_0":"Ein Körper ist im Kräftegleichgewicht, wenn die Vektorsumme seiner äußeren Kräfte null ist. Dann ändert sich seine Geschwindigkeit nicht. Er kann ruhen oder sich mit konstanter Geschwindigkeit geradlinig bewegen. Kräftegleichgewicht bedeutet also nicht, dass überhaupt keine Kräfte vorhanden sind.","sections_6_paragraphs_1":"Ein Buch auf einem waagerechten Tisch wird nach unten von seiner Gewichtskraft und nach oben von der Stützkraft des Tischs beeinflusst. Ohne weitere vertikale Kräfte und ohne vertikale Beschleunigung sind beide Beträge gleich. Auf einer schiefen Ebene oder in einem beschleunigten Aufzug ist diese Gleichheit nicht automatisch gegeben.","sections_7_title":"Eine einfache Kräfteskizze erstellen","sections_7_paragraphs_0":"Wähle zuerst den Körper, den du untersuchst, und zeichne nur die Kräfte, die auf ihn wirken. Für einen waagerecht gezogenen Wagen könnten das Gewichtskraft nach unten, Stützkraft nach oben, Zugkraft nach rechts und Reibung nach links sein. Geschwindigkeit und Beschleunigung sind keine zusätzlichen Kräfte.","sections_7_paragraphs_1":"Wähle eine positive Richtung und bilde die Kraftbilanz getrennt für horizontal und vertikal. Wenn der Wagen nicht vertikal beschleunigt, gleichen sich unter den genannten Bedingungen Gewicht und Stützkraft aus. Für die horizontale Beschleunigung zählt dann die Differenz zwischen Zugkraft und Reibung.","sections_8_title":"Kräftegleichgewicht und Wechselwirkung nicht verwechseln","sections_8_paragraphs_0":"Beim Wechselwirkungsprinzip üben zwei Körper gleich große, entgegengesetzte Kräfte aufeinander aus. Die Erde zieht das Buch an und das Buch zieht die Erde an. Diese Kräfte wirken auf unterschiedliche Körper und heben sich deshalb nicht in der Kraftbilanz des Buchs auf.","sections_8_paragraphs_1":"Gewichtskraft und Stützkraft auf das ruhende Buch wirken dagegen beide auf das Buch. Sie können im Gleichgewicht stehen, sind aber nicht das Wechselwirkungspaar miteinander. Die Gegenkraft zur Stützkraft des Tischs auf das Buch ist die Kraft des Buchs auf den Tisch.","sections_9_title":"Kräfte an vier Beispielen berechnen","sections_9_workedExamples_0_text":"Beschleunigen: Ein Wagen mit 4 Kilogramm Masse beschleunigt mit 1,5 Metern pro Sekunde zum Quadrat. Gesucht ist die resultierende Kraft. Sie beträgt 6 Newton. Eine einzelne Zugkraft hätte nur dann denselben Betrag, wenn keine weitere horizontale Kraft entgegenwirkt.","sections_9_workedExamples_1_text":"Gewichtskraft: Ein Gegenstand hat 750 Gramm Masse. Zuerst rechnest du in 0,75 Kilogramm um. Mit dem Ortsfaktor 9,81 ergibt sich eine Gewichtskraft von rund 7,36 Newton.","sections_9_workedExamples_2_text":"Zugkraft und Reibung: Ein Wagen mit 10 Kilogramm Masse wird waagerecht mit 30 Newton gezogen. Eine Reibungskraft von 10 Newton wirkt entgegen. Vertikal besteht Gleichgewicht. Horizontal bleiben 20 Newton übrig und der Wagen beschleunigt mit 2 Metern pro Sekunde zum Quadrat nach vorn.","sections_9_workedExamples_3_text":"Senkrechte Kräfte: Auf einen Körper wirken 3 Newton nach rechts und 4 Newton nach oben. Der Betrag der resultierenden Kraft ist 5 Newton. Ihre Richtung liegt schräg rechts oben. Sie beträgt nicht 7 Newton, weil die Kräfte nicht in dieselbe Richtung zeigen.","sections_10_title":"Typische Fehler beim Kräfteberechnen vermeiden","sections_10_list_items_0_title":"Eine Einzelkraft mit der Resultierenden verwechseln","sections_10_list_items_0_text":"Erst alle Kräfte am gewählten Körper zusammenfassen, dann die Beschleunigung bestimmen.","sections_10_list_items_1_title":"Masse als Kraft behandeln","sections_10_list_items_1_text":"Kilogramm und Newton sind unterschiedliche Einheiten. Für Gewichtskraft brauchst du zusätzlich den Ortsfaktor.","sections_10_list_items_2_title":"Richtungen ignorieren","sections_10_list_items_2_text":"Vorzeichen oder Vektoren berücksichtigen. Beträge dürfen nicht beliebig addiert werden.","sections_10_list_items_3_title":"Bewegung mit Beschleunigung gleichsetzen","sections_10_list_items_3_text":"Auch ein bewegter Körper kann bei konstanter geradliniger Geschwindigkeit im Kräftegleichgewicht sein.","quiz_0_question":"Auf einen Körper mit 2 Kilogramm Masse wirkt eine resultierende Kraft von 6 Newton. Wie groß ist seine Beschleunigung?","quiz_0_explanation":"Du teilst die resultierende Kraft durch die Masse. 6 Newton geteilt durch 2 Kilogramm ergibt 3 Meter pro Sekunde zum Quadrat.","quiz_1_question":"Welche Gewichtskraft hat eine Masse von 500 Gramm bei einem Ortsfaktor von 10 Newton pro Kilogramm?","quiz_1_explanation":"500 Gramm sind 0,5 Kilogramm. Multipliziert mit 10 Newton pro Kilogramm ergibt das 5 Newton.","quiz_2_question":"Welche Aussage zum Kräftegleichgewicht ist richtig?","quiz_2_options_0_label":"Der Körper muss ruhen.","quiz_2_options_1_label":"Es wirken überhaupt keine Kräfte.","quiz_2_options_2_label":"Die Geschwindigkeit nimmt immer zu.","quiz_2_options_3_label":"Der Körper kann ruhen oder sich gleichförmig geradlinig bewegen.","quiz_2_explanation":"Die resultierende Kraft ist null und damit auch die Beschleunigung. Eine bereits vorhandene Geschwindigkeit kann deshalb konstant bleiben.","supportText":"Übe mit einem Tutor Kräfteskizzen, Vorzeichen und Formelumstellungen, damit du nicht nur eine Formel kennst, sondern den passenden Ansatz erkennst.","supportButtonLabel":"Kräfte mit Physik-Tutor üben","faqTitle":"Häufige Fragen zu Kräften","faqDescription":"Resultierende Kraft, Masse, Gewichtskraft und Gleichgewicht unterscheiden.","faqs_0_question":"Ist Kraft gleich Masse mal Geschwindigkeit?","faqs_0_answer":"Nein. Newtons Grundgesetz verknüpft bei konstanter Masse die resultierende Kraft mit der Beschleunigung. Masse mal Geschwindigkeit beschreibt den Impuls. Eine gleichförmige geradlinige Bewegung braucht keine von null verschiedene resultierende Kraft.","faqs_1_question":"Warum muss ich Gramm in Kilogramm umrechnen?","faqs_1_answer":"Die Einheit Newton ist über Kilogramm, Meter und Sekunde definiert. Ohne Umrechnung passt das eingesetzte Zahlensystem nicht zur gewünschten Einheit. 500 Gramm entsprechen 0,5 Kilogramm.","faqs_2_question":"Ist die Gewichtskraft überall gleich?","faqs_2_answer":"Nein. Sie hängt von Masse und Ortsfaktor ab. Der Ortsfaktor unterscheidet sich zwischen Himmelskörpern und verändert sich auch mit Ort und Höhe. Für Schulaufgaben nutzt du den angegebenen oder ausdrücklich vereinbarten Näherungswert.","faqs_3_question":"Kann ein fahrendes Auto im Kräftegleichgewicht sein?","faqs_3_answer":"Ja, wenn es sich mit konstanter Geschwindigkeit geradlinig bewegt. Antrieb und Widerstände können sich horizontal ausgleichen. Beim Beschleunigen, Bremsen oder einer Kurvenfahrt ändert sich dagegen die Geschwindigkeit als Vektor und eine resultierende Kraft ist nötig.","faqs_4_question":"Sind Gewichtskraft und Stützkraft ein Wechselwirkungspaar?","faqs_4_answer":"Nein, beide wirken beim Buch auf dem Tisch auf dasselbe Buch. Wechselwirkungskräfte wirken auf zwei verschiedene Körper. Zur Stützkraft des Tischs auf das Buch gehört als Gegenkraft die Kraft des Buchs auf den Tisch.","editorial_related_title":"Kräfte mit Bewegung und Energie verbinden","editorial_related_description":"Vertiefe die Beschleunigung, die Rolle der Masse und die Arbeit einer Kraft.","editorial_related_parts_0":"Wie eine resultierende Kraft die Bewegung verändert, zeigt ","editorial_related_parts_1_label":"Geschwindigkeit und Beschleunigung","editorial_related_parts_2":". Beim Thema ","editorial_related_parts_3_label":"Berechnen der Dichte","editorial_related_parts_4":" unterscheidest du Masse und Volumen, bevor du daraus beispielsweise die Gewichtskraft bestimmst. Der ","editorial_related_parts_5_label":"Energieerhaltungssatz","editorial_related_parts_6":" verbindet Kraft und Weg mit mechanischer Arbeit und erklärt, wohin die übertragene Energie geht.","sections_0_table_rows_0_1":"F","sections_0_table_rows_1_1":"m","sections_0_table_rows_2_1":"a","sections_0_table_rows_2_2":"m/s²","sections_0_table_rows_3_1":"g","quiz_0_options_0_label":"12 m/s²","quiz_0_options_1_label":"3 m/s²","quiz_0_options_2_label":"0,33 m/s²","quiz_0_options_3_label":"6 m/s²","quiz_1_options_0_label":"5000 N","quiz_1_options_1_label":"50 N","quiz_1_options_2_label":"5 N","quiz_1_options_3_label":"0,5 N","editorial_sources_0_label":"OpenStax Physics: Newton’s Second Law of Motion","editorial_sources_1_label":"OpenStax College Physics 2e: Normal, Tension, and Other Examples of Forces","summary":"Newtons Grundgesetz, Gewichtskraft und Kräftegleichgewicht mit vier Rechenbeispielen.","overview_title":"Kräfte einfach berechnen","force_diagram_alt":"Maßstäbliche Kraftpfeile am Wagen: 30 N Zugkraft nach rechts, 10 N Reibung nach links und jeweils 98,1 N Stütz- und Gewichtskraft. Die Resultierende beträgt 20 N nach rechts.","force_diagram_caption":"Alle Pfeillängen verwenden denselben Maßstab. Am 10-kg-Wagen wirken 98,1 N Gewichtskraft nach unten und eine gleich große Stützkraft nach oben. Beide Kräfte wirken weiterhin, ihre Summe ist aber null. Horizontal bleiben von 30 N Zugkraft nach Abzug der 10 N Reibung 20 N nach rechts. Der orangefarbene Pfeil zeigt diese Resultierende vom Mittelpunkt des Wagens aus. Er ist keine zusätzliche Einzelkraft und darf nicht nochmals addiert werden.","force_diagram_pull":"Zugkraft: 30 N","force_diagram_friction":"Reibung: 10 N","force_diagram_normal":"Stützkraft: 98,1 N","force_diagram_weight":"Gewichtskraft: 98,1 N","force_diagram_cart":"Wagen: 10 kg","force_diagram_resultant":"Resultierende: 20 N"},"textaufgaben-loesen":{"calculation_unit":"Alle Geldbeträge in der folgenden Rechnung sind in {{unit}} angegeben."}},"zuletzt abgerufen am {{date}}.":"zuletzt abgerufen am {{date}}."}