{"570":"570","Bei AvisQnect siehst du den Qredit-Preis jedes Tutors transparent und kannst Online-Nachhilfe flexibel auswählen.":"Bei AvisQnect siehst du den Qredit-Preis jedes Tutors transparent und kannst Online-Nachhilfe flexibel auswählen.","Besuche unser FAQ oder schreibe uns über das Kontaktformular.":"Besuche unser FAQ oder schreibe uns über das Kontaktformular.","Bist du unsicher, ob Nachhilfe in deiner Situation helfen kann?":"Bist du unsicher, ob Nachhilfe in deiner Situation helfen kann?","Brauchst du Hilfe beim Satz des Pythagoras oder bei Geometrie?":"Brauchst du Hilfe beim Satz des Pythagoras oder bei Geometrie?","Brauchst du Unterstützung auf dem Weg zum Schulabschluss?":"Brauchst du Unterstützung auf dem Weg zum Schulabschluss?","Brauchst du neben dem Schulvergleich Unterstützung beim Schulwechsel?":"Brauchst du neben dem Schulvergleich Unterstützung beim Schulwechsel?","Brauchst du neben den Arbeitsblättern persönliche Unterstützung?":"Brauchst du neben den 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Online-Tutor kann Rechenwege oder Lösungsstrategien mit dir Schritt für Schritt erarbeiten.":"Ein Online-Tutor kann Rechenwege oder Lösungsstrategien mit dir Schritt für Schritt erarbeiten.","Ein Online-Tutor kann dir helfen, Grundlagen im eigenen Tempo wieder aufzubauen und Fragen direkt zu klären.":"Ein Online-Tutor kann dir helfen, Grundlagen im eigenen Tempo wieder aufzubauen und Fragen direkt zu klären.","Ein Online-Tutor kann passende Lernmethoden mit dir anwenden und fachliche Fragen persönlich erklären.":"Ein Online-Tutor kann passende Lernmethoden mit dir anwenden und fachliche Fragen persönlich erklären.","Ein passender Online-Tutor kann Lernlücken eingrenzen und mit dir an einem realistischen Lernziel arbeiten.":"Ein passender Online-Tutor kann Lernlücken eingrenzen und mit dir an einem realistischen Lernziel arbeiten.","Ein passender Online-Tutor kann Lernlücken früh erkennen und den Einstieg in die neue Schule unterstützen.":"Ein passender Online-Tutor kann Lernlücken früh erkennen und den Einstieg in die neue Schule unterstützen.","Ein passender Online-Tutor kann die Ursachen eingrenzen und genau an den fachlichen Lücken ansetzen.":"Ein passender Online-Tutor kann die Ursachen eingrenzen und genau an den fachlichen Lücken ansetzen.","Fachliche Sicherheit aufbauen":"Fachliche Sicherheit aufbauen","Fehlen dir Grundlagen für Ausbildung oder Weiterbildung?":"Fehlen dir Grundlagen für Ausbildung oder Weiterbildung?","Fehlt neben guten Strategien auch fachliche Sicherheit?":"Fehlt neben guten Strategien auch fachliche Sicherheit?","Fällt dir der Wiedereinstieg ins Lernen schwer?":"Fällt dir der Wiedereinstieg ins Lernen schwer?","Fällt es dir schwer, deinen Lernplan konsequent umzusetzen?":"Fällt es dir schwer, deinen Lernplan konsequent umzusetzen?","Gezielte Online-Nachhilfe kann Grundlagen festigen und deinem Kind den fachlichen Einstieg an der neuen Schule erleichtern.":"Gezielte Online-Nachhilfe kann Grundlagen festigen und deinem Kind den fachlichen Einstieg an der neuen Schule erleichtern.","Gezielte Online-Nachhilfe kann dir helfen, Unsicherheiten in einzelnen Prüfungsfächern rechtzeitig aufzuarbeiten.":"Gezielte Online-Nachhilfe kann dir helfen, Unsicherheiten in einzelnen Prüfungsfächern rechtzeitig aufzuarbeiten.","Gezielte Online-Nachhilfe kann fachliche Unsicherheiten auffangen und den Einstieg in neue Anforderungen erleichtern.":"Gezielte Online-Nachhilfe kann fachliche Unsicherheiten auffangen und den Einstieg in neue Anforderungen erleichtern.","Gezielte Online-Nachhilfe kann helfen, Grundlagen aufzufrischen und Prüfungen strukturiert vorzubereiten.":"Gezielte Online-Nachhilfe kann helfen, Grundlagen aufzufrischen und Prüfungen strukturiert vorzubereiten.","Gezielte Online-Nachhilfe kann helfen, entscheidende Lücken zu priorisieren und die verbleibende Zeit sinnvoll zu nutzen.":"Gezielte Online-Nachhilfe kann helfen, entscheidende Lücken zu priorisieren und die verbleibende Zeit sinnvoll zu nutzen.","In der Online-Nachhilfe kannst du Geometrie anschaulich üben und Unsicherheiten Schritt für Schritt klären.":"In der Online-Nachhilfe kannst du Geometrie anschaulich üben und Unsicherheiten Schritt für Schritt klären.","In der Online-Nachhilfe kannst du die Aufgabe gemeinsam mit einem Tutor nachvollziehen und ähnliche Aufgaben üben.":"In der Online-Nachhilfe kannst du die Aufgabe gemeinsam mit einem Tutor nachvollziehen und ähnliche Aufgaben üben.","In der Online-Nachhilfe können Aufgaben gemeinsam besprochen und offene Fragen direkt geklärt werden.":"In der Online-Nachhilfe können Aufgaben gemeinsam besprochen und offene Fragen direkt geklärt werden.","In diesem Artikel":"In diesem Artikel","In einer ersten Online-Stunde könnt ihr Lernziele, Schwierigkeiten und die passende Unterstützung gemeinsam einordnen.":"In einer ersten Online-Stunde könnt ihr Lernziele, Schwierigkeiten und die passende Unterstützung gemeinsam einordnen.","Inhaltsverzeichnis":"Inhaltsverzeichnis","Inhaltsverzeichnis ausklappen":"Inhaltsverzeichnis ausklappen","Inhaltsverzeichnis einklappen":"Inhaltsverzeichnis einklappen","Ist der Lösungsweg noch nicht vollständig klar?":"Ist der Lösungsweg noch nicht vollständig klar?","Ist die Schule gewählt, aber fachlich sind noch Fragen offen?":"Ist die Schule gewählt, aber fachlich sind noch Fragen offen?","Ist die Versetzung gefährdet und fachliche Hilfe nötig?":"Ist die Versetzung gefährdet und fachliche Hilfe nötig?","Kommst du bei den Aufgaben noch nicht sicher weiter?":"Kommst du bei den Aufgaben noch nicht sicher weiter?","Lernplan mit Tutor konkretisieren":"Lernplan mit Tutor konkretisieren","Lernziel mit Tutor angehen":"Lernziel mit Tutor angehen","Läuft die Vorbereitung auf das Abitur noch nicht wie geplant?":"Läuft die Vorbereitung auf das Abitur noch nicht wie geplant?","Mit Online-Nachhilfe kann dein Kind wichtige Grundlagen vor dem Wechsel gezielt aufarbeiten.":"Mit Online-Nachhilfe kann dein Kind wichtige Grundlagen vor dem Wechsel gezielt aufarbeiten.","Mit Online-Nachhilfe kann dein Kind wichtige Themen priorisieren, ohne die gesamten Ferien mit Lernen zu verbringen.":"Mit Online-Nachhilfe kann dein Kind wichtige Themen priorisieren, ohne die gesamten Ferien mit Lernen zu verbringen.","Mit Online-Nachhilfe kannst du fachliche Lücken gezielt schließen und dich auf neue Anforderungen vorbereiten.":"Mit Online-Nachhilfe kannst du fachliche Lücken gezielt schließen und dich auf neue Anforderungen vorbereiten.","Mit Online-Nachhilfe kannst du gezielt an den Fächern arbeiten, die deinen Durchschnitt besonders beeinflussen.":"Mit Online-Nachhilfe kannst du gezielt an den Fächern arbeiten, die deinen Durchschnitt besonders beeinflussen.","Mit gezielter Online-Nachhilfe lassen sich Lernlücken früh schließen und neue Inhalte sicherer angehen.":"Mit gezielter Online-Nachhilfe lassen sich Lernlücken früh schließen und neue Inhalte sicherer angehen.","Mit passender Online-Nachhilfe kannst du dich gezielt auf den nächsten Bildungsweg vorbereiten.":"Mit passender Online-Nachhilfe kannst du dich gezielt auf den nächsten Bildungsweg vorbereiten.","Möchtest du Lernfortschritte gezielt unterstützen?":"Möchtest du Lernfortschritte gezielt unterstützen?","Möchtest du Wissenslücken vor Ausbildung oder Studium schließen?":"Möchtest du Wissenslücken vor Ausbildung oder Studium schließen?","Möchtest du dein Kind beim Übergang gezielt unterstützen?":"Möchtest du dein Kind beim Übergang gezielt unterstützen?","Möchtest du dein Kind fachlich auf den Schulwechsel vorbereiten?":"Möchtest du dein Kind fachlich auf den Schulwechsel vorbereiten?","Möchtest du dich fachlich auf dein Studium vorbereiten?":"Möchtest du dich fachlich auf dein Studium vorbereiten?","Möchtest du einen passenden Tutor direkt kennenlernen?":"Möchtest du einen passenden Tutor direkt kennenlernen?","Möchtest du passende Nachhilfe unverbindlich kennenlernen?":"Möchtest du passende Nachhilfe unverbindlich kennenlernen?","Nachhilfe ersetzt keine Diagnostik oder Therapie, kann aber helfen, Lernstoff individuell und in kleinen Schritten zu bearbeiten.":"Nachhilfe ersetzt keine Diagnostik oder Therapie, kann aber helfen, Lernstoff individuell und in kleinen Schritten zu bearbeiten.","Noch Fragen zu deinem Bildungsweg oder zur Lernunterstützung?":"Noch Fragen zu deinem Bildungsweg oder zur Lernunterstützung?","Online-Nachhilfe kann Grundlagen festigen und den fachlichen Start an der weiterführenden Schule erleichtern.":"Online-Nachhilfe kann Grundlagen festigen und den fachlichen Start an der weiterführenden Schule erleichtern.","Online-Nachhilfe kann Wissenslücken schließen und durch gezielte Vorbereitung mehr Sicherheit vor Prüfungen schaffen.":"Online-Nachhilfe kann Wissenslücken schließen und durch gezielte Vorbereitung mehr Sicherheit vor Prüfungen schaffen.","Online-Nachhilfe kann bekannte Lernlücken schließen und dein Kind auf die Anforderungen der neuen Schule vorbereiten.":"Online-Nachhilfe kann bekannte Lernlücken 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Zuletzt redaktionell geprüft und aktualisiert am {{date}}.":"Redaktionell erstellt von der AvisQnect-Redaktion. 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Setze negative Werte in Klammern, damit du das Minus aus der Formel getrennt behandeln kannst.","article_errors_1_title":"Vorzeichen verlieren","article_errors_2_text":"Plusminus steht für zwei Rechnungen. Nur wenn die Wurzel null ist, führen beide zum selben Wert.","article_errors_2_title":"Den Minusfall vergessen","article_errors_3_text":"Entferne das Minuszeichen nicht einfach. Ein negativer Wurzelausdruck bedeutet, dass es keine reelle Lösung gibt.","article_errors_3_title":"Eine negative Zahl unter der Wurzel ändern","article_faqDescription":"Kurze Antworten auf häufige Fragen aus dem Unterricht.","article_faqTitle":"Häufige Fragen: p-q-Formel","article_faqs_0_answer":"Für quadratische Gleichungen in Normalform mit dem quadratischen Koeffizienten 1. Andere quadratische Gleichungen normierst du zuerst.","article_faqs_0_question":"Wann darf ich die p-q-Formel benutzen?","article_faqs_1_answer":"Die allgemeine quadratische Formel arbeitet direkt mit drei Koeffizienten. 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Setzt du nur in eine falsch umgeformte Zwischenzeile ein, kann deine Probe denselben Fehler übernehmen. Irrationale Lösungen lässt du am besten zunächst als Wurzel stehen, weil zu frühes Runden eine korrekte Probe unnötig ungenau macht.","article_sections_5_title":"Lösungen in der ursprünglichen Gleichung prüfen","article_sections_6_title":"Zusammenhang mit quadratischer Ergänzung","article_sections_7_paragraphs_1":"Wenn nur eine Lösung in deinem Ergebnis steht, kontrolliere, ob die Wurzel tatsächlich null war oder ob du den Minusfall vergessen hast. Ein negativer Wurzelausdruck ist kein Anlass, das Vorzeichen einfach zu entfernen. Schreibe dann ausdrücklich, dass es im Bereich der reellen Zahlen keine Lösung gibt.","article_sections_7_title":"Häufige Fehler beim Lösen quadratischer Gleichungen","article_supportButtonLabel":"Thema mit Tutor verstehen","article_supportText":"Löse quadratische Gleichungen gemeinsam mit einem Tutor und übe das sichere Einsetzen in die p-q-Formel.","article_title":"p-q-Formel","article_topic_backLabel":"Zurück zu Mathematik-Themen einfach erklärt","article_topic_label":"Algebra","beispiel_answer":"Die Gleichung hat die beiden Lösungen 5 und −1. Beide Werte machen die ursprüngliche Gleichung richtig, wie die folgende Probe zeigt.","beispiel_approach":"Die Gleichung ist bereits in Normalform. Lies p als −4 und q als −5 ab. Setze diese Werte einschließlich der Vorzeichen in die Formel ein. Der Ausdruck unter der Wurzel ist 4 plus 5, also 9. Die Wurzel ist daher 3. Das Zeichen ± fordert zwei Rechnungen: einmal 2 plus 3 und einmal 2 minus 3.","beispiel_task":"Die vorbereitete Gleichung lässt sich nun mit der p-q-Formel lösen. Wir suchen alle reellen x-Werte, die sie erfüllen:","derive_answer":"Die beiden Lösungen sind also 5 und −1. Du erhältst dieselben Werte wie beim direkten Einsetzen in die p-q-Formel. Die ausführliche Rechnung zeigt, warum die Formel funktioniert und woher ihr Plus-Minus-Zeichen kommt.","derive_condition":"Damit ist die p-q-Formel hergeleitet. Im Bereich der reellen Zahlen ist das Wurzelziehen nur möglich, wenn rechts keine negative Zahl steht. Eine positive Zahl liefert zwei Vorzeichen und damit zwei Lösungen. Bei Null fallen beide zusammen.","derive_expand":"Aus der ersten binomischen Formel ergibt sich das folgende Klammerquadrat. Der mittlere Term ist genau px, weil die beiden halben p-Anteile zusammen ein ganzes p ergeben:","derive_general":"Zuerst bringen wir q auf die rechte Seite. Dann addieren wir auf beiden Seiten das Quadrat von p/2. Links steht nun das Klammerquadrat von oben. Wir ziehen die Wurzel und berücksichtigen beide Vorzeichen. Zuletzt ziehen wir p/2 ab:","derive_method":"Die Hälfte von −4 ist −2 und ihr Quadrat ist 4. Deshalb ergänzen wir auf beiden Seiten 4. Dadurch wird links aus dem Ausdruck das Quadrat von x − 2. Die rechte Seite wird 9. Eine Zahl mit Quadrat 9 kann 3 oder −3 sein:","derive_missing":"Die ersten beiden Terme stimmen mit der Normalform überein. Als letzter Summand steht hier aber das Quadrat von p/2 anstelle von q. Genau diesen Unterschied gleichen wir beim Umformen der Gleichung aus.","derive_task":"Am Beispiel mit p = −4 und q = −5 lässt sich derselbe Weg mit Zahlen nachvollziehen:","editorial_related_description":"Verbinde die Nullstellenberechnung mit Klammern, Grundwissen und selbst aufgestellten Gleichungen.","editorial_related_parts_0":"Wie das Klammerquadrat hinter der p-q-Formel entsteht, erklärt der Artikel ","editorial_related_parts_1_label":"Binomische Formeln","editorial_related_parts_2":". Unsicher bei Vorzeichen oder Termen? Im ","editorial_related_parts_3_label":"Mathematik-Lernplan Klasse 7/8","editorial_related_parts_4":" findest du die Grundlagen dazu und beim ","editorial_related_parts_5_label":"Textaufgaben lösen","editorial_related_parts_6":" lernst du, eine passende Gleichung aus der Aufgabenbeschreibung aufzustellen.","editorial_related_title":"Quadratische Gleichungen weiter verstehen","editorial_sources_0_label":"OpenStax: Quadratic equations","editorial_sources_1_label":"OpenStax: Special products","page_imageAlt":"Lernen und Verstehen im Fach Mathematik","page_overviewTitle":"p-q-Formel","page_seoDescription":"Nullstellen quadratischer Funktionen finden: p-q-Formel anwenden, Parabeln mit 0, 1 oder 2 Nullstellen verstehen und den Satz von Vieta nutzen.","page_seoTitle":"p-q-Formel: einfach erklärt mit Beispielen","page_summary":"Quadratische Gleichungen lösen und die Lösungen prüfen.","page_title":"p-q-Formel","probe_answer":"Beide eingesetzten Werte ergeben links 10. Die Probe bestätigt somit die Lösungen 5 und −1.","probe_approach":"Ersetze x in der ursprünglichen Gleichung zuerst durch 5 und dann durch −1. Setze negative Werte in Klammern, bevor du quadrierst. Vergleiche in beiden Fällen das Ergebnis auf der linken Seite mit der rechten Seite 10.","probe_task":"Ob die gefundenen Werte 5 und −1 stimmen, zeigt die Probe in der ursprünglichen Gleichung:","review_formel_0":"Die reellen Zahlen sind die Zahlen auf der gewohnten Zahlengeraden, etwa ganze Zahlen, Brüche und auch die Quadratwurzel aus 2. Für jede reelle Zahl ist ihr Quadrat mindestens null. Deshalb hat eine negative Zahl keine reelle Quadratwurzel. Genau diese Eigenschaft entscheidet darüber, ob die p-q-Formel reelle Lösungen liefert.","review_formel_1":"Setze p und q mit ihren Vorzeichen ein und berechne zuerst den Ausdruck unter der Wurzel. Das Zeichen ± bedeutet: Rechne einmal mit Plus und einmal mit Minus vor der Wurzel. So erhältst du die beiden möglichen x-Werte. Ist der Wurzelausdruck null, liefern beide Rechnungen dieselbe Zahl. Ist er negativ, gibt es keine reelle Lösung.","review_loesungsanzahl_0":"Der Ausdruck unter der Wurzel wird hier D genannt. Sein Vorzeichen verrät dir die Anzahl der verschiedenen reellen Lösungen: Bei positivem D ergeben Plus und Minus zwei verschiedene x-Werte. Bei D gleich null fallen beide x-Werte zusammen. Bei negativem D gibt es keine reelle Wurzel und damit keinen reellen Lösungswert.","review_loesungsanzahl_1":"In den drei Zeichnungen bleibt p gleich −4, während q von 3 über 4 auf 5 steigt. Die Parabel verschiebt sich dadurch nach oben. Zuerst schneidet sie die x-Achse bei 1 und 3. Dann berührt sie die Achse nur noch bei 2. Schließlich liegt sie vollständig darüber. Eine doppelte Lösung bedeutet also eine einzige Nullstelle, an der die Parabel die Achse berührt.","review_normalform_0":"Die Zahl, mit der eine Variable oder ihre Potenz multipliziert wird, heißt Koeffizient. Die konstante Zahl ist der Summand ohne x. Für die p-q-Formel muss die Gleichung so angeordnet sein, dass rechts null steht und vor dem Quadrat von x der Koeffizient 1 steht. Diese Schreibweise heißt Normalform.","review_normalform_1":"In der Normalform heißt der Koeffizient vor dem einfachen x nun p und die konstante Zahl q. Übernimm beide mit ihrem Vorzeichen. Fehlt der Term mit dem einfachen x, ist p null. Fehlt die konstante Zahl, ist q null. Steht vor dem Quadrat eine andere Zahl als 1, teile zuerst jeden Summanden und die rechte Seite durch diese Zahl.","review_zusammenhang_0":"Die quadratische Ergänzung ist ein Rechenweg, mit dem du eine quadratische Gleichung löst und zugleich die p-q-Formel herleitest. Ziel ist, den linken Ausdruck als Quadrat einer Klammer zu schreiben. Ein Klammerquadrat lässt sich durch Wurzelziehen auflösen. Dadurch kommst du vom x² zu einem Ausdruck mit einfachem x.","review_zusammenhang_1":"Wir starten mit der Normalform und suchen das passende Klammerquadrat. Dafür wird der Koeffizient p halbiert. Die binomische Formel erklärt, warum genau dieser Wert nötig ist. Jede Addition oder Subtraktion erfolgt auf beiden Seiten, damit die Gleichung dieselben Lösungen behält.","roots_caption":"D ist der Ausdruck unter der Wurzel: (p/2)² − q. Die y-Achsenabschnitte sind von links nach rechts 3, 4 und 5. Die Scheitel liegen bei (2 | −1), (2 | 0) und (2 | 1). Deshalb schneidet die erste Parabel die x-Achse zweimal, die zweite berührt sie und die dritte erreicht sie nicht.","roots_p0":"Eine Funktion ordnet jedem eingesetzten x-Wert einen Funktionswert zu, den du auch als y-Wert bezeichnen kannst. Eine quadratische Funktion enthält als höchste Potenz das Quadrat von x. Ihr Graph, also ihre Zeichnung im Koordinatensystem, ist eine Parabel. Eine Nullstelle ist ein x-Wert, bei dem dieser Graph die x-Achse trifft, weil der Funktionswert dort null ist.","roots_p1":"Um Nullstellen zu finden, setzt du den Funktionsterm gleich null. Danach löst du diese Gleichung nach x. Die p-q-Formel erledigt diesen Schritt, sobald die Gleichung in der passenden Normalform steht. Die gefundenen Zahlen sind die x-Koordinaten der Schnitt- oder Berührpunkte, nicht deren y-Koordinaten. Diese y-Koordinate ist an einer Nullstelle immer null.","roots_title":"Wozu brauchst du die p-q-Formel?","source_additional_0":"Serlo: Die p-q-Formel zur Lösung quadratischer Gleichungen","top_cta_question":"Kommst du bei der p-q-Formel durcheinander?","top_cta_text":"Ein Mathe-Tutor übt mit dir die Normalform, das Einsetzen von p und q und die Kontrolle deiner Lösungen.","vieta_answer":"Die Nullstellen liegen bei x = 2 und x = 3. Setzt du einen dieser Werte ein, wird eine der beiden Klammern null und damit auch ihr Produkt.","vieta_method":"Hier ist p gleich −5 und q gleich 6. Gesucht sind daher zwei Zahlen mit Summe 5 und Produkt 6. Die Zahlen 1 und 6 haben zwar das richtige Produkt, aber ihre Summe ist 7. Die Zahlen 2 und 3 erfüllen beide Bedingungen.","vieta_p0":"Der Satz von Vieta verbindet die beiden Lösungen mit p und q: Ihre Summe ist −p und ihr Produkt ist q. Für eine Gleichung in Normalform kannst du deshalb nach zwei Zahlen suchen, die gleichzeitig diese beiden Bedingungen erfüllen. Das geht besonders schnell, wenn die Lösungen ganze Zahlen sind.","vieta_p1":"Achte auf das Minus vor p. Wenn q positiv ist, haben die beiden gesuchten Zahlen dasselbe Vorzeichen. Wenn q negativ ist, haben sie verschiedene Vorzeichen. Findest du kein passendes ganzzahliges Paar, bedeutet das noch nicht, dass es keine Lösung gibt. Die Lösungen könnten Brüche oder Wurzelausdrücke sein. Dann ist die p-q-Formel der verlässlichere Rechenweg.","vieta_source":"Serlo: Satz von Vieta","vieta_task":"Bei dieser Funktion lassen sich die Nullstellen mit Vieta finden, ohne zuerst die p-q-Formel auszurechnen:","vieta_title":"Satz von Vieta: Nullstellen im Kopf finden","vorbereiten_answer":"Die Gleichung ist jetzt in Normalform. Der Koeffizient p ist −4 und die konstante Zahl q ist −5. Beide Minuszeichen gehören zu den einzusetzenden Werten.","vorbereiten_approach":"Teile zuerst beide Seiten und jeden Summanden durch 2. Dadurch steht vor dem quadrierten x nur noch der Faktor 1. Ziehe anschließend auf beiden Seiten 5 ab, damit rechts null steht. Lies p und q erst aus dieser fertig umgeformten Gleichung ab.","vorbereiten_task":"Bevor die p-q-Formel auf die folgende Gleichung passt, bringen wir sie in die Normalform:"},"present-progressive":{"top_cta_question":"Wann brauchst du das Present Progressive?","top_cta_text":"Ein Englisch-Tutor erklärt dir die Bildung mit am, is oder are und -ing und übt passende Alltagssätze mit dir."},"prozentrechnung":{"top_cta_question":"Grundwert, Prozentwert oder Prozentsatz?","top_cta_text":"Ein Mathe-Tutor hilft dir, die gesuchte Größe zu erkennen und Rabatte oder Erhöhungen sicher zu berechnen."},"simple-present-present-progressive":{"top_cta_question":"Welche Gegenwartsform passt zu deinem Satz?","top_cta_text":"Ein Englisch-Tutor hilft dir, Gewohnheiten und laufende Handlungen zu unterscheiden und die passende Zeitform zu wählen."},"simple-present":{"top_cta_question":"Sind he, she, it und Fragen mit do noch unsicher?","top_cta_text":"Ein Englisch-Tutor übt mit dir Satzbildung, Fragen und Verneinungen, damit du das Simple Present sicher verwendest."},"stilmittel-rhetorische-mittel":{"top_cta_question":"Erkennst du Stilmittel, aber ihre Wirkung bleibt unklar?","top_cta_text":"Ein Deutsch-Tutor übt mit dir, rhetorische Mittel zu erkennen und ihre Wirkung im Zusammenhang zu erklären."}},"learning_center_articles":{"kraefte-berechnen":{"category":"Themen einfach erklärt","topic_label":"Mechanik","topic_backLabel":"Zurück zu Physik-Themen einfach erklärt","title":"Kräfte berechnen: Newtons Grundgesetz, Gewichtskraft und Kräftegleichgewicht","intro_text":"Eine Kraft kann einen Körper verformen oder seine Bewegung verändern. Zum Berechnen musst du deshalb wissen, auf welchen Körper die Kräfte wirken, welche Richtung sie haben und ob sie sich gegenseitig ausgleichen. Hier lernst du Newtons Grundgesetz, die Gewichtskraft und das Kräftegleichgewicht mit Einheiten und vollständig erklärten Beispielen.","sections_0_title":"Was eine Kraft beschreibt","sections_0_paragraphs_0":"Beim Schieben eines Wagens, Spannen eines Gummibands oder Abbremsen eines Fahrrads wirken Kräfte. Sie sind nicht direkt als „Bewegung“ sichtbar, sondern an ihren Wirkungen. Ein Körper kann trotz mehrerer Kräfte ruhen, wenn sie sich ausgleichen. Er kann sich auch gleichförmig geradlinig bewegen, obwohl die resultierende Kraft null ist.","sections_0_paragraphs_1":"Kraft ist eine gerichtete Größe, also ein Vektor. Ein Kraftpfeil zeigt Richtung und bei einer maßstäblichen Zeichnung auch Betrag. Für einfache Aufgaben entlang einer Linie kannst du eine positive Richtung wählen und entgegengesetzte Kräfte mit negativem Vorzeichen berücksichtigen.","sections_0_table_headers_0":"Größe","sections_0_table_headers_1":"Formelzeichen","sections_0_table_headers_2":"Einheit","sections_0_table_rows_0_0":"Kraft","sections_0_table_rows_0_2":"Newton (N)","sections_0_table_rows_1_0":"Masse","sections_0_table_rows_1_2":"Kilogramm (kg)","sections_0_table_rows_2_0":"Beschleunigung","sections_0_table_rows_3_0":"Ortsfaktor","sections_0_table_rows_3_2":"N/kg oder m/s²","sections_1_title":"Newtons Grundgesetz richtig anwenden","sections_1_paragraphs_0_text":"Bei konstanter Masse ist die resultierende äußere Kraft gleich Masse mal Beschleunigung. Resultierend bedeutet: Alle auf den betrachteten Körper wirkenden äußeren Kräfte werden mit ihren Richtungen zusammengefasst. 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Null geteilt durch null ist kein sinnvoller Rechenschritt. Für eine Masse brauchst du dann eine andere Information, zum Beispiel eine bekannte Gewichtskraft und den Ortsfaktor.","sections_3_title":"Einheiten vor der Rechnung überprüfen","sections_3_paragraphs_0":"Setze die Masse in Kilogramm und die Beschleunigung in Metern pro Sekunde zum Quadrat ein, wenn das Ergebnis in Newton sein soll. Gramm müssen vorher umgerechnet werden. Auch Kilometer pro Stunde sind keine Beschleunigung, sondern eine Geschwindigkeit. Eine Kraft lässt sich nicht allein aus Masse und momentaner Geschwindigkeit bestimmen.","sections_3_paragraphs_1":"Wenn in der Aufgabe eine Geschwindigkeitsänderung über eine Zeitspanne gegeben ist, bestimme zunächst die mittlere Beschleunigung. Bei konstanter Masse liefert sie entsprechend die mittlere resultierende Kraft in diesem Zeitraum. 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Die Gewichtskraft wirkt zum Erdmittelpunkt und in einer lokalen Skizze normalerweise nach unten.","sections_5_title":"Mehrere Kräfte zur resultierenden Kraft zusammenfassen","sections_5_paragraphs_0":"Wirken zwei Kräfte entlang derselben Linie in dieselbe Richtung, addierst du ihre Beträge. Wirken sie entgegengesetzt, bildest du die Differenz und gibst die Richtung der stärkeren Kraft an. Entscheidend ist, dass beide Kräfte auf denselben Körper wirken.","sections_5_paragraphs_1":"Bei unterschiedlichen Richtungen reicht einfaches Addieren der Beträge nicht. Für zwei zueinander senkrechte Kräfte kannst du den Betrag der Resultierenden mit dem Satz des Pythagoras bestimmen. Bei anderen Winkeln helfen Kräfteparallelogramm oder Komponenten. Die Pythagoras-Formel gilt hier nur bei einem rechten Winkel.","sections_6_title":"Kräftegleichgewicht bedeutet keine Beschleunigung","sections_6_paragraphs_0":"Ein Körper ist im Kräftegleichgewicht, wenn die Vektorsumme seiner äußeren Kräfte null ist. Dann ändert sich seine Geschwindigkeit nicht. Er kann ruhen oder sich mit konstanter Geschwindigkeit geradlinig bewegen. Kräftegleichgewicht bedeutet also nicht, dass überhaupt keine Kräfte vorhanden sind.","sections_6_paragraphs_1":"Ein Buch auf einem waagerechten Tisch wird nach unten von seiner Gewichtskraft und nach oben von der Stützkraft des Tischs beeinflusst. Ohne weitere vertikale Kräfte und ohne vertikale Beschleunigung sind beide Beträge gleich. Auf einer schiefen Ebene oder in einem beschleunigten Aufzug ist diese Gleichheit nicht automatisch gegeben.","sections_7_title":"Eine einfache Kräfteskizze erstellen","sections_7_paragraphs_0":"Wähle zuerst den Körper, den du untersuchst, und zeichne nur die Kräfte, die auf ihn wirken. Für einen waagerecht gezogenen Wagen könnten das Gewichtskraft nach unten, Stützkraft nach oben, Zugkraft nach rechts und Reibung nach links sein. Geschwindigkeit und Beschleunigung sind keine zusätzlichen Kräfte.","sections_7_paragraphs_1":"Wähle eine positive Richtung und bilde die Kraftbilanz getrennt für horizontal und vertikal. Wenn der Wagen nicht vertikal beschleunigt, gleichen sich unter den genannten Bedingungen Gewicht und Stützkraft aus. Für die horizontale Beschleunigung zählt dann die Differenz zwischen Zugkraft und Reibung.","sections_8_title":"Kräftegleichgewicht und Wechselwirkung nicht verwechseln","sections_8_paragraphs_0":"Beim Wechselwirkungsprinzip üben zwei Körper gleich große, entgegengesetzte Kräfte aufeinander aus. Die Erde zieht das Buch an und das Buch zieht die Erde an. Diese Kräfte wirken auf unterschiedliche Körper und heben sich deshalb nicht in der Kraftbilanz des Buchs auf.","sections_8_paragraphs_1":"Gewichtskraft und Stützkraft auf das ruhende Buch wirken dagegen beide auf das Buch. Sie können im Gleichgewicht stehen, sind aber nicht das Wechselwirkungspaar miteinander. Die Gegenkraft zur Stützkraft des Tischs auf das Buch ist die Kraft des Buchs auf den Tisch.","sections_9_title":"Kräfte an vier Beispielen berechnen","sections_9_workedExamples_0_text":"Beschleunigen: Ein Wagen mit 4 Kilogramm Masse beschleunigt mit 1,5 Metern pro Sekunde zum Quadrat. Gesucht ist die resultierende Kraft. Sie beträgt 6 Newton. Eine einzelne Zugkraft hätte nur dann denselben Betrag, wenn keine weitere horizontale Kraft entgegenwirkt.","sections_9_workedExamples_1_text":"Gewichtskraft: Ein Gegenstand hat 750 Gramm Masse. Zuerst rechnest du in 0,75 Kilogramm um. Mit dem Ortsfaktor 9,81 ergibt sich eine Gewichtskraft von rund 7,36 Newton.","sections_9_workedExamples_2_text":"Zugkraft und Reibung: Ein Wagen mit 10 Kilogramm Masse wird waagerecht mit 30 Newton gezogen. Eine Reibungskraft von 10 Newton wirkt entgegen. Vertikal besteht Gleichgewicht. Horizontal bleiben 20 Newton übrig und der Wagen beschleunigt mit 2 Metern pro Sekunde zum Quadrat nach vorn.","sections_9_workedExamples_3_text":"Senkrechte Kräfte: Auf einen Körper wirken 3 Newton nach rechts und 4 Newton nach oben. Der Betrag der resultierenden Kraft ist 5 Newton. Ihre Richtung liegt schräg rechts oben. Sie beträgt nicht 7 Newton, weil die Kräfte nicht in dieselbe Richtung zeigen.","sections_10_title":"Typische Fehler beim Kräfteberechnen vermeiden","sections_10_list_items_0_title":"Eine Einzelkraft mit der Resultierenden verwechseln","sections_10_list_items_0_text":"Erst alle Kräfte am gewählten Körper zusammenfassen, dann die Beschleunigung bestimmen.","sections_10_list_items_1_title":"Masse als Kraft behandeln","sections_10_list_items_1_text":"Kilogramm und Newton sind unterschiedliche Einheiten. 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Multipliziert mit 10 Newton pro Kilogramm ergibt das 5 Newton.","quiz_2_question":"Welche Aussage zum Kräftegleichgewicht ist richtig?","quiz_2_options_0_label":"Der Körper muss ruhen.","quiz_2_options_1_label":"Es wirken überhaupt keine Kräfte.","quiz_2_options_2_label":"Die Geschwindigkeit nimmt immer zu.","quiz_2_options_3_label":"Der Körper kann ruhen oder sich gleichförmig geradlinig bewegen.","quiz_2_explanation":"Die resultierende Kraft ist null und damit auch die Beschleunigung. Eine bereits vorhandene Geschwindigkeit kann deshalb konstant bleiben.","supportText":"Übe mit einem Tutor Kräfteskizzen, Vorzeichen und Formelumstellungen, damit du nicht nur eine Formel kennst, sondern den passenden Ansatz erkennst.","supportButtonLabel":"Kräfte mit Physik-Tutor üben","faqTitle":"Häufige Fragen zu Kräften","faqDescription":"Resultierende Kraft, Masse, Gewichtskraft und Gleichgewicht unterscheiden.","faqs_0_question":"Ist Kraft gleich Masse mal Geschwindigkeit?","faqs_0_answer":"Nein. Newtons Grundgesetz verknüpft bei konstanter Masse die resultierende Kraft mit der Beschleunigung. Masse mal Geschwindigkeit beschreibt den Impuls. Eine gleichförmige geradlinige Bewegung braucht keine von null verschiedene resultierende Kraft.","faqs_1_question":"Warum muss ich Gramm in Kilogramm umrechnen?","faqs_1_answer":"Die Einheit Newton ist über Kilogramm, Meter und Sekunde definiert. Ohne Umrechnung passt das eingesetzte Zahlensystem nicht zur gewünschten Einheit. 500 Gramm entsprechen 0,5 Kilogramm.","faqs_2_question":"Ist die Gewichtskraft überall gleich?","faqs_2_answer":"Nein. Sie hängt von Masse und Ortsfaktor ab. Der Ortsfaktor unterscheidet sich zwischen Himmelskörpern und verändert sich auch mit Ort und Höhe. Für Schulaufgaben nutzt du den angegebenen oder ausdrücklich vereinbarten Näherungswert.","faqs_3_question":"Kann ein fahrendes Auto im Kräftegleichgewicht sein?","faqs_3_answer":"Ja, wenn es sich mit konstanter Geschwindigkeit geradlinig bewegt. Antrieb und Widerstände können sich horizontal ausgleichen. Beim Beschleunigen, Bremsen oder einer Kurvenfahrt ändert sich dagegen die Geschwindigkeit als Vektor und eine resultierende Kraft ist nötig.","faqs_4_question":"Sind Gewichtskraft und Stützkraft ein Wechselwirkungspaar?","faqs_4_answer":"Nein, beide wirken beim Buch auf dem Tisch auf dasselbe Buch. Wechselwirkungskräfte wirken auf zwei verschiedene Körper. Zur Stützkraft des Tischs auf das Buch gehört als Gegenkraft die Kraft des Buchs auf den Tisch.","editorial_related_title":"Kräfte mit Bewegung und Energie verbinden","editorial_related_description":"Vertiefe die Beschleunigung, die Rolle der Masse und die Arbeit einer Kraft.","editorial_related_parts_0":"Wie eine resultierende Kraft die Bewegung verändert, zeigt ","editorial_related_parts_1_label":"Geschwindigkeit und Beschleunigung","editorial_related_parts_2":". Beim Thema ","editorial_related_parts_3_label":"Berechnen der Dichte","editorial_related_parts_4":" unterscheidest du Masse und Volumen, bevor du daraus beispielsweise die Gewichtskraft bestimmst. Der ","editorial_related_parts_5_label":"Energieerhaltungssatz","editorial_related_parts_6":" verbindet Kraft und Weg mit mechanischer Arbeit und erklärt, wohin die übertragene Energie geht.","sections_0_table_rows_0_1":"F","sections_0_table_rows_1_1":"m","sections_0_table_rows_2_1":"a","sections_0_table_rows_2_2":"m/s²","sections_0_table_rows_3_1":"g","quiz_0_options_0_label":"12 m/s²","quiz_0_options_1_label":"3 m/s²","quiz_0_options_2_label":"0,33 m/s²","quiz_0_options_3_label":"6 m/s²","quiz_1_options_0_label":"5000 N","quiz_1_options_1_label":"50 N","quiz_1_options_2_label":"5 N","quiz_1_options_3_label":"0,5 N","editorial_sources_0_label":"OpenStax Physics: Newton’s Second Law of Motion","editorial_sources_1_label":"OpenStax College Physics 2e: Normal, Tension, and Other Examples of Forces","summary":"Newtons Grundgesetz, Gewichtskraft und Kräftegleichgewicht mit vier Rechenbeispielen.","overview_title":"Kräfte einfach berechnen","force_diagram_alt":"Maßstäbliche Kraftpfeile am Wagen: 30 N Zugkraft nach rechts, 10 N Reibung nach links und jeweils 98,1 N Stütz- und Gewichtskraft. 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