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Geometrie

Satz des Pythagoras

Der Satz des Pythagoras hilft dir, Seitenlängen in rechtwinkligen Dreiecken zu berechnen. Entscheidend ist: Du musst die Hypotenuse sicher erkennen, die Formel richtig einsetzen und wissen, wann der Satz überhaupt gilt. ^[1] ^[2]

Standardlage

Gespiegelt

Gedreht

Was bedeuten a, b und c?

In vielen Schulbüchern heißen die beiden Katheten a und b. Das sind die Seiten, die direkt am rechten Winkel liegen. Die Seite c ist dann die Hypotenuse: Sie liegt gegenüber vom rechten Winkel und ist im rechtwinkligen Dreieck die längste Seite. ^[1]

Achtung bei Seitenbezeichnungen

Die Seiten können in Aufgaben anders heißen. Wichtig ist die Lage: Die Seite a liegt gegenüber von Punkt A, die Seite b gegenüber von Punkt B und die Seite c gegenüber von Punkt C. Wenn die Eckpunkte P, Q und R heißen, können die Seiten entsprechend p, q und r heißen. Die Idee bleibt gleich: Die Seite gegenüber vom rechten Winkel ist die Hypotenuse.

Begriff	Erklärung
Katheten a und b	Die beiden Seiten, die den rechten Winkel bilden
Hypotenuse c	Die Seite gegenüber vom rechten Winkel

Die Formel

a^2+b^2=c^2

Das gilt, wenn c die Hypotenuse ist. Wenn die Hypotenuse anders heißt, musst du die Formel entsprechend anpassen.

Gesucht	Umgestellte Formel	Wichtig
Hypotenuse c	$c = \sqrt{a^2+b^2}$	Die beiden Katheten werden addiert
Kathete a	$a=\sqrt{c^2-b^2}$	Von der Hypotenuse wird die bekannte Kathete abgezogen
Kathete b	$b=\sqrt{c^2-a^2}$	Am Ende immer die Wurzel ziehen

Warum stimmt das? Ein kurzer visueller Beweis

Visueller Beweis mit Flächen

Zum Satz des Pythagoras gibt es nicht nur einen Beweis. Es gibt sehr viele bekannte Beweisideen; eine berühmte Sammlung enthält sogar 367 Beweise. Hier siehst du einen der anschaulicheren Beweise mit Flächen.

Die Idee des Beweises ist: Wir berechnen denselben Flächeninhalt auf zwei verschiedene Arten. Weil es jedes Mal dieselbe große Quadratfläche ist, müssen beide Rechnungen am Ende gleich viel ergeben.

Zuerst schauen wir auf den Aufbau. Der äußere Rahmen ist ein großes Quadrat mit Seitenlänge a + b. Darin liegen vier gleiche rechtwinklige Dreiecke. Jedes Dreieck hat die Katheten a und b und die schräge Seite c. Die vier schrägen c-Seiten bilden in der Mitte ein kleineres Quadrat mit Seitenlänge c.

Jetzt beschreiben wir die große Fläche auf zwei Wegen:

Direkt als großes Quadrat: Die Seitenlänge ist a + b, also ist die Fläche $(a+b)^2$
Als zusammengesetzte Fläche: dieselbe große Fläche besteht aus vier Dreiecken und dem kleinen Quadrat in der Mitte.
Ein Dreieck hat die Fläche $\frac{a \cdot b}{2}$ . Vier Dreiecke haben deshalb zusammen $4 \cdot \frac{a \cdot b}{2}=2ab$
Die Fläche in der Mitte ist $c^2$ . Also gilt für die große Fläche auch: vier Dreiecke plus c²

\begin{aligned} (a+b)^2&=4\cdot\frac{a\cdot b}{2}+c^2 \\ a^2+2ab+b^2&=2ab+c^2 \\ a^2+b^2&=c^2 \end{aligned}

Die Rechnung sagt also: Die Fläche des großen Quadrats ist genauso groß wie die vier Dreiecke zusammen plus das mittlere Quadrat. Wenn man ausmultipliziert und auf beiden Seiten 2ab abzieht, bleibt a² + b² = c² übrig. Das ist genau der Satz des Pythagoras.

Wann ist der Satz besonders nützlich?

Der Satz des Pythagoras taucht immer dann auf, wenn du in einer Zeichnung ein rechtwinkliges Hilfsdreieck erkennst oder selbst einzeichnen kannst. Oft sieht man das Dreieck nicht sofort. Man muss es sich erst in die Situation hineindenken. ^[3] ^[4]

Diagonalen

In Rechtecken und Quadraten entsteht durch die Diagonale ein rechtwinkliges Dreieck. So kannst du zum Beispiel die Länge einer Bildschirmdiagonale oder einer Tischplatte berechnen.

Koordinaten und Entfernungen

Wenn du dich erst nach rechts und dann nach oben bewegst, ist die direkte Entfernung die Hypotenuse. Das ist die Grundlage für viele Abstandsberechnungen im Koordinatensystem.

Leitern, Rampen und Dachschrägen

Bei einer Leiter an der Wand, einer Rampe oder einer Dachschräge kennt man oft Höhe und Abstand. Die schräge Länge lässt sich dann mit Pythagoras bestimmen.

Körper im Raum

Bei Quadern, Kisten oder Zimmern kann man Pythagoras mehrfach verwenden: zuerst für eine Diagonale auf dem Boden, danach für die Raumdiagonale.

Alltagsabschätzungen

Auch ohne Heft kann man grob überlegen: Wie viel kürzer ist der direkte Weg quer über eine Fläche als der Weg außen herum? Wie lang müsste ein schräges Pflasterstück ungefähr sein?

Flächen planen

Wenn du bei einer Dachschräge die schräge Länge überschlägst, kannst du besser abschätzen, wie groß die zu streichende Fläche ist und wie viel Farbe ungefähr gebraucht wird.

Pythagoras im Kopf überschlagen

Du musst nicht immer ganz genau rechnen. Manchmal reicht eine gute Schätzung. Dafür hilft es, die Quadratzahlen zu kennen: 1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81, 100, 121, 144 und so weiter.

So kannst du grob abschätzen

Quadriere die beiden kurzen Strecken im Kopf, soweit es geht
Addiere die beiden Quadratzahlen
Suche die Quadratzahl, die am nächsten daran liegt
Die Wurzel dieser Quadratzahl ist ungefähr die schräge Länge

Beispiel: Wenn ein Weg 5 m nach vorne und 8 m zur Seite geht, rechnest du $5^2+8^2=25+64=89$ . 89 liegt zwischen den Quadratzahlen 81 und 100. Die Wurzel liegt also zwischen 9 und 10. Der direkte schräge Weg ist ungefähr 9,5 m lang.

Das kann man sich sogar beim Spazierengehen überlegen: Wie viel schneller wäre ich, wenn ich nicht zwei rechteckige Straßen entlanglaufe, sondern diagonal über eine freie Fläche gehen könnte?

Beispiele

Vollständig vorgerechnete Beispiele können helfen, den Lösungsweg zu verstehen, bevor ähnliche Aufgaben selbstständig bearbeitet werden. ^[5]

Beispiel 1: Leiter an der Wand

Eine Leiter steht 3 m von der Wand entfernt und erreicht eine Höhe von 4 m. Die Leiter ist die Hypotenuse:

\sqrt{3^2+4^2}=\sqrt{9+16}=\sqrt{25}=5

. Die Leiter ist also 5 m lang.

Beispiel 2: Raumdiagonale eines Quaders

Bei einem Quader mit Länge 5 cm, Breite 7 cm und Höhe 9 cm rechnest du in zwei Schritten. Zuerst berechnest du die Diagonale auf dem Boden des Quaders:

\sqrt{5^2+7^2}=\sqrt{74}

. Diese Bodendiagonale bildet zusammen mit der Höhe wieder ein rechtwinkliges Dreieck. Deshalb rechnest du danach:

\sqrt{(\sqrt{74})^2+9^2}=\sqrt{74+81}=\sqrt{155}\approx12{,}45

. Die Raumdiagonale ist also ungefähr 12,45 cm lang.

Pythagoräische Tripel

Manche rechtwinklige Dreiecke haben besonders praktische Seitenlängen: Alle drei Seiten sind ganze Zahlen. Solche Zahlenkombinationen nennt man pythagoräische Tripel. Das bekannteste Tripel ist 3, 4, 5, weil gilt: $3^2+4^2=5^2$ .

Wenn du diese Tripel erkennst, musst du oft gar nicht lange rechnen. Außerdem gilt: Jedes Vielfache eines pythagoräischen Tripels ist wieder ein pythagoräisches Tripel. Aus 3, 4, 5 wird zum Beispiel 6, 8, 10 oder 9, 12, 15. Es gilt also auch $6^2+8^2=10^2$ . Das kann man sich herleiten, indem man die ursprüngliche Gleichung einfach mit 2² multipliziert.

Häufige Tripel, die man kennen kann

Tripel	Gleichung
3, 4, 5	$3^2+4^2=5^2$
5, 12, 13	$5^2+12^2=13^2$
8, 15, 17	$8^2+15^2=17^2$
7, 24, 25	$7^2+24^2=25^2$
20, 21, 29	$20^2+21^2=29^2$
9, 40, 41	$9^2+40^2=41^2$

Historische Einordnung

Der Satz ist nach Pythagoras von Samos benannt, einem griechischen Mathematiker aus dem 6. Jahrhundert vor Christus. Die Beziehung zwischen den Seiten rechtwinkliger Dreiecke war aber wahrscheinlich schon früher bekannt: Babylonische Rechentafeln zeigen Zahlentripel wie 3, 4 und 5, die genau zu rechtwinkligen Dreiecken passen.

Wichtig ist deshalb die Unterscheidung zwischen praktischer Nutzung und mathematischem Beweis. Im Alltag konnte man solche Dreiecke schon sehr früh zum Messen verwenden. In der griechischen Mathematik wurde daraus eine beweisbare Aussage, die später in Euklids Elementen systematisch dargestellt wurde.

Was ist mit nicht-rechten Winkeln?

Hat ein Dreieck keinen rechten Winkel, kannst du den Satz des Pythagoras nicht direkt verwenden. Dann ist es kein Pythagoras-Dreieck, auch wenn es auf den ersten Blick fast so aussieht.

Die Verallgemeinerung heißt Kosinussatz. Er ist eher ein Thema für spätere Klassen, aber die Idee ist hilfreich: Beim rechten Winkel vereinfacht sich der Kosinussatz genau zum Satz des Pythagoras.

c^2=a^2+b^2-2ab\cdot\cos(\gamma)

Wenn γ genau 90 Grad ist, wird $\cos(90^\circ)=0$ . Der letzte Teil fällt weg, und übrig bleibt wieder $a^2+b^2=c^2$ .

Typische Fehler

Viele Fehler entstehen nicht, weil der Satz schwer ist, sondern weil eine kleine Bedingung übersehen wird. Gerade am Anfang lohnt es sich, jeden Schritt langsam zu prüfen.

Die Hypotenuse wird nicht richtig erkannt. Suche immer zuerst den rechten Winkel; die Seite gegenüber davon ist die Hypotenuse.
Die Seitenbezeichnungen werden blind übernommen. Wenn die Punkte A, B und C heißen, liegt a gegenüber von A, b gegenüber von B und c gegenüber von C.
Der Satz wird bei einem Dreieck ohne rechten Winkel angewendet. Ohne rechten Winkel gilt die einfache Formel a² + b² = c² nicht direkt.
Beim Umstellen wird vergessen, die Wurzel zu ziehen. Wenn du c² berechnet hast, kennst du noch nicht c, sondern erst das Quadrat von c.
Die Seiten werden eingesetzt, ohne auf Einheiten zu achten. Zentimeter, Meter und Millimeter müssen vorher passend umgerechnet werden.

Mini-Quiz

Aufgabe 1 von 3: Wähle eine Antwort aus und klicke dann auf Überprüfen.

Welche Seite ist in einem rechtwinkligen Dreieck die Hypotenuse?

Unterstützung beim Verstehen?

Wenn Geometrie-Aufgaben noch schwerfallen, kann gezielte Nachhilfe helfen, Grundlagen und Lösungswege sicherer zu machen.

Passende Aufgaben zum Üben

Wende Pythagoras und weitere Berechnungen am rechtwinkligen Dreieck in Trigonometrie-Aufgaben an.

Arbeitsblätter

Häufige Fragen

Hier sind kurze Antworten auf Fragen, die beim Satz des Pythagoras besonders häufig auftauchen.

Geometrie weiter vertiefen

Der Satz des Pythagoras wird sicherer, wenn geometrische Eigenschaften erkannt und anschließend selbst angewendet werden.

Wiederhole zunächst, wie sich Vierecke unterscheiden lassen. Danach kannst du das Gelernte mit unseren Mathematik-Arbeitsblättern üben. Wenn bei mehreren Geometriethemen Grundlagen fehlen, kannst du gezielt eine passende Mathe-Nachhilfe finden.

Quellen

OpenStax: Der Satz des Pythagoras, zuletzt abgerufen am 8. Juli 2026.
KMK: Bildungsstandards Mathematik für die Sekundarstufe I, zuletzt abgerufen am 8. Juli 2026.
OpenStax: Entfernungsformel als Anwendung des Satzes des Pythagoras, zuletzt abgerufen am 8. Juli 2026.
LehrplanPLUS Bayern: Fachprofil Mathematik mit Inhalten der Jahrgangsstufen, zuletzt abgerufen am 8. Juli 2026.
Education Endowment Foundation: Mathematische Lösungswege mit Beispielen verstehen, zuletzt abgerufen am 8. Juli 2026.

Redaktionell erstellt von der AvisQnect-Redaktion. Zuletzt redaktionell geprüft und aktualisiert am 8. Juli 2026.