Algebra
Sind die binomischen Formeln noch unsicher?
Ein Mathe-Tutor kann mit dir Klammern auflösen, Vorzeichen prüfen und erkennen, wann welche Formel passt.
Was ist eine binomische Formel?
Ein Term ist ein Rechenausdruck, beispielsweise „x + 3“. Dabei steht die Variable x für eine Zahl. Ein Term mit zwei Summanden, also zwei Teilen einer Addition, heißt Binom. Die binomischen Formeln helfen dir, bestimmte Produkte solcher Ausdrücke schneller auszurechnen.
Beim Quadrieren multiplizierst du die ganze Klammer mit sich selbst. Multipliziere zuerst a und dann b jeweils mit beiden Teilen der zweiten Klammer. So entstehen vier Produkte. Die Produkte ab und ba sind gleich, weil du bei einer Multiplikation die Reihenfolge der Faktoren vertauschen darfst. Zusammen ergeben sie den mittleren Term 2ab.
Die drei Formeln im Überblick
Bei der ersten Formel steht ein Plus in der Klammer, bei der zweiten ein Minus. Die dritte gilt für zwei gleiche Terme mit entgegengesetzten Vorzeichen zwischen ihnen. In allen Fällen können a und b auch ganze Terme sein.
Die Buchstaben beschreiben ein Muster und schreiben keine bestimmten Zahlen vor. Wenn in einer Klammer beispielsweise 2x statt a steht, musst du den gesamten Ausdruck 2x als ersten Baustein behandeln. Die Formel spart Schreibarbeit, weil sie das vollständige Ausmultiplizieren bereits zusammenfasst.
Warum der mittlere Term dazugehört
Stell dir ein Quadrat vor, dessen Seiten aus einem Abschnitt a und einem Abschnitt b bestehen. Es zerfällt in zwei Quadrate und zwei gleich große Rechtecke. Die beiden Rechtecke darfst du beim Berechnen der Gesamtfläche nicht weglassen.
Die Fläche eines Rechtecks berechnest du aus seinen beiden Seitenlängen. Jedes der beiden schmalen Rechtecke hat daher dieselbe Fläche, auch wenn eines hochkant und eines quer liegt. Das Flächenmodell erklärt die erste Formel für positive Seitenlängen, während das algebraische Ausmultiplizieren auch für negative Zahlen gilt.
Klammern mit Zahlen und Variablen auflösen
Bestimme zuerst die beiden Teile der Klammer und setze dann in das passende Muster ein. Im ersten Beispiel ist der zweite Teil die Zahl 4. Im zweiten Beispiel ist der erste Teil bereits ein Produkt, deshalb wird auch dessen Zahl quadriert.
Das Quadrat eines Produkts betrifft jeden seiner Faktoren, also auch eine Zahl vor der Variablen. Schreibe bei Unsicherheit zuerst die Klammer zweimal hin und multipliziere jeden Bestandteil der ersten mit jedem Bestandteil der zweiten Klammer. Beide Wege müssen dasselbe Ergebnis liefern und helfen dir, vergessene Teilprodukte zu entdecken.
Bei der folgenden Klammer sehen wir Schritt für Schritt, wie sich die erste binomische Formel anwenden lässt:
Nutze die erste binomische Formel. Der erste Ausdruck ist x und der zweite 4. Quadriere beide getrennt und bilde zusätzlich das doppelte Produkt aus x und 4.
Die ausmultiplizierte Form besteht aus dem Quadrat von x, dem achtfachen x und der Zahl 16.
Im nächsten Beispiel steht vor x ein Faktor und in der Klammer ein Minuszeichen. Beides gehört zum jeweiligen Bestandteil der binomischen Formel:
Nutze die zweite binomische Formel mit dem gesamten ersten Ausdruck 2x und dem zweiten Ausdruck 3. Beim Quadrieren von 2x wird auch die 2 quadriert. Das doppelte Produkt erhält ein Minuszeichen.
Das Ergebnis besteht aus dem vierfachen Quadrat von x, minus zwölfmal x, plus 9. Der letzte Summand ist trotz des Minuszeichens in der Klammer positiv.
Die dritte Formel und Kopfrechnen
Die gemischten Produkte heben sich bei der dritten Formel auf. Das ist auch beim Kopfrechnen hilfreich: 49 mal 51 liegt symmetrisch um 50. Du rechnest das Quadrat der Mitte und ziehst das Quadrat des Abstands ab.
Der Abstand zur Mitte ist in diesem Beispiel auf beiden Seiten gleich groß. Beim Ausmultiplizieren entsteht einmal ein positives und einmal ein negatives gemischtes Produkt, sodass sie sich gegenseitig aufheben. Bei 48 mal 51 sind die Abstände zur Mitte 50 dagegen verschieden, weshalb du dieses konkrete Muster nicht unverändert verwenden kannst.
Die dritte binomische Formel vereinfacht dieses Produkt, weil sich die Klammern nur im Vorzeichen unterscheiden:
Die beiden Klammern enthalten dieselben Ausdrücke, unterscheiden sich aber im Vorzeichen vor der 2. Nutze die dritte binomische Formel und quadriere den gesamten Ausdruck 3x sowie die Zahl 2.
Das Produkt vereinfacht sich zum neunfachen Quadrat von x minus 4. Ein gemischter Summand bleibt nicht übrig.
Auch beim Kopfrechnen hilft die dritte Formel. Für 49 mal 51 bietet sich die runde Zahl 50 als Mitte an:
Beide Zahlen liegen genau 1 von 50 entfernt. Schreibe sie als 50 minus 1 und 50 plus 1. Mit der dritten binomischen Formel musst du nur 50 quadrieren und 1 abziehen.
49 mal 51 ergibt 2499.
Binomische Formeln rückwärts anwenden
Ein Faktor ist ein Bestandteil einer Multiplikation. Faktorisieren bedeutet, einen Ausdruck als Produkt solcher Faktoren zu schreiben, beispielsweise mit zwei Klammern. Du änderst dabei nur die Schreibweise, nicht den Wert. Die binomischen Formeln lassen sich hierfür auch rückwärts lesen.
Bei drei Summanden müssen die beiden äußeren Quadrate und der mittlere doppelte Produktterm zusammenpassen. Zwei Quadrate mit einem Minus dazwischen passen zur dritten Formel. Prüfe dein Ergebnis durch erneutes Ausmultiplizieren, statt nur nach bekannten Zahlen zu suchen.
Ein ausmultiplizierter Ausdruck lässt sich manchmal wieder als Klammerquadrat schreiben. Das erkennen wir an diesem Beispiel:
Die 25 ist das Quadrat von 5. Prüfe nun den mittleren Summanden: Das doppelte Produkt aus x und 5 ist zehnmal x. Beide Merkmale passen zur ersten binomischen Formel.
Der Ausdruck ist das Quadrat der Klammer „x plus 5“. Beim erneuten Ausmultiplizieren erhältst du wieder den Ausgangsausdruck.
Die Differenz zweier Quadrate lässt sich mithilfe der dritten Formel in zwei Klammern zerlegen:
Der erste Ausdruck ist das Quadrat von 4x und der zweite das Quadrat von 3. Zwischen ihnen steht ein Minuszeichen. Verwende daher die dritte binomische Formel rückwärts.
Die gesuchten Faktoren sind die Klammern „4x plus 3“ und „4x minus 3“.
So wählst du die passende Formel
Lies die gesamte Struktur, bevor du rechnest: eine quadrierte Summe, eine quadrierte Differenz oder das Produkt einer Summe und einer Differenz? Stimmen die Muster nicht, multipliziere normal aus. Zwei beliebige Klammern ergeben nicht automatisch eine binomische Formel.
Suche nicht nur nach einem Plus- oder Minuszeichen, sondern auch nach der Position des Quadrats. Eine Summe aus zwei Quadraten ist etwas anderes als das Quadrat einer ganzen Summe. Wenn du diese Struktur zuerst erkennst, vermeidest du, eine auswendig gelernte Formel an der falschen Stelle einzusetzen.
Stolperfallen bei den binomischen Formeln
- Mittleres Produkt vergessen: Bei (a + b)² gehört 2ab dazu. Für reelle a ≠ 0 und b ≠ 0 ist das Ergebnis daher nie nur a² + b². Nur wenn a oder b null ist, fällt 2ab weg.
- Minus vor dem letzten Quadrat: Bei der zweiten binomischen Formel ist der mittlere Term negativ. Das Quadrat des zweiten Bestandteils bleibt positiv, weil zwei negative Faktoren ein positives Produkt ergeben.
- Nur die Variable quadrieren: Die Zahl vor der Variablen wird ebenfalls quadriert: (2x)² ist 4x², nicht 2x².
- Ein unpassendes Muster erzwingen: Beim rückwärts gerichteten Faktorisieren müssen beide Quadrate und der mittlere Term zusammenpassen. Multipliziere deine Klammer zur Kontrolle wieder aus.
Was ergibt das Quadrat von „x + 3“?
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Vom Klammerquadrat zur Gleichung
Die binomischen Formeln helfen dir beim Umformen quadratischer Ausdrücke und bereiten dich auf die p-q-Formel vor. Dort begegnet dir das Klammerquadrat bei der quadratischen Ergänzung wieder. Im Mathematik-Lernplan Klasse 7/8 kannst du die nötigen Algebra-Grundlagen wiederholen und beim Textaufgaben lösen üben, wie aus einer beschriebenen Situation ein passender Term entsteht.
Häufige Fragen: Binomische Formeln
Kurze Antworten auf häufige Fragen aus dem Unterricht.
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Quellen
- OpenStax: Special products, zuletzt abgerufen am 8. Oktober 2026.
- OpenStax: Quadratic equations, zuletzt abgerufen am 8. Oktober 2026.
- Serlo: Einführung in die binomischen Formeln, zuletzt abgerufen am 8. Oktober 2026.
Redaktionell erstellt von der AvisQnect-Redaktion. Zuletzt redaktionell geprüft und aktualisiert am 8. Oktober 2026.