Algebra
p-q-Formel
Mit der p-q-Formel berechnest du Lösungen quadratischer Gleichungen. Damit findest du auch die Nullstellen einer quadratischen Funktion: die x-Werte, bei denen ihr Funktionswert null ist. Die Parabel kann die x-Achse zweimal schneiden, einmal berühren oder gar nicht treffen. Entsprechend gibt es zwei, eine oder keine reelle Nullstelle. [1] [2]
Kommst du bei der p-q-Formel durcheinander?
Ein Mathe-Tutor übt mit dir die Normalform, das Einsetzen von p und q und die Kontrolle deiner Lösungen.
Wozu brauchst du die p-q-Formel?
Eine Funktion ordnet jedem eingesetzten x-Wert einen Funktionswert zu, den du auch als y-Wert bezeichnen kannst. Eine quadratische Funktion enthält als höchste Potenz das Quadrat von x. Ihr Graph, also ihre Zeichnung im Koordinatensystem, ist eine Parabel. Eine Nullstelle ist ein x-Wert, bei dem dieser Graph die x-Achse trifft, weil der Funktionswert dort null ist.
Um Nullstellen zu finden, setzt du den Funktionsterm gleich null. Danach löst du diese Gleichung nach x. Die p-q-Formel erledigt diesen Schritt, sobald die Gleichung in der passenden Normalform steht. Die gefundenen Zahlen sind die x-Koordinaten der Schnitt- oder Berührpunkte, nicht deren y-Koordinaten. Diese y-Koordinate ist an einer Nullstelle immer null.
Die notwendige Normalform
Die Zahl, mit der eine Variable oder ihre Potenz multipliziert wird, heißt Koeffizient. Die konstante Zahl ist der Summand ohne x. Für die p-q-Formel muss die Gleichung so angeordnet sein, dass rechts null steht und vor dem Quadrat von x der Koeffizient 1 steht. Diese Schreibweise heißt Normalform.
In der Normalform heißt der Koeffizient vor dem einfachen x nun p und die konstante Zahl q. Übernimm beide mit ihrem Vorzeichen. Fehlt der Term mit dem einfachen x, ist p null. Fehlt die konstante Zahl, ist q null. Steht vor dem Quadrat eine andere Zahl als 1, teile zuerst jeden Summanden und die rechte Seite durch diese Zahl.
Die Formel verstehen
Die reellen Zahlen sind die Zahlen auf der gewohnten Zahlengeraden, etwa ganze Zahlen, Brüche und auch die Quadratwurzel aus 2. Für jede reelle Zahl ist ihr Quadrat mindestens null. Deshalb hat eine negative Zahl keine reelle Quadratwurzel. Genau diese Eigenschaft entscheidet darüber, ob die p-q-Formel reelle Lösungen liefert.
Setze p und q mit ihren Vorzeichen ein und berechne zuerst den Ausdruck unter der Wurzel. Das Zeichen ± bedeutet: Rechne einmal mit Plus und einmal mit Minus vor der Wurzel. So erhältst du die beiden möglichen x-Werte. Ist der Wurzelausdruck null, liefern beide Rechnungen dieselbe Zahl. Ist er negativ, gibt es keine reelle Lösung.
Die Gleichung zuerst vorbereiten
Bevor die p-q-Formel auf die folgende Gleichung passt, bringen wir sie in die Normalform:
Teile zuerst beide Seiten und jeden Summanden durch 2. Dadurch steht vor dem quadrierten x nur noch der Faktor 1. Ziehe anschließend auf beiden Seiten 5 ab, damit rechts null steht. Lies p und q erst aus dieser fertig umgeformten Gleichung ab.
Eine Äquivalenzumformung verändert die Darstellung einer Gleichung, erhält aber ihre Lösungen. Dazu führst du dieselbe erlaubte Rechenoperation auf beiden Seiten aus. Wenn du zum Beispiel durch 2 teilst, betrifft das auch den linearen Term und die Konstante, sonst entsteht eine andere Gleichung.
Die Gleichung ist jetzt in Normalform. Der Koeffizient p ist −4 und die konstante Zahl q ist −5. Beide Minuszeichen gehören zu den einzusetzenden Werten.
Ein Beispiel vollständig lösen
Die vorbereitete Gleichung lässt sich nun mit der p-q-Formel lösen. Wir suchen alle reellen x-Werte, die sie erfüllen:
Die Gleichung ist bereits in Normalform. Lies p als −4 und q als −5 ab. Setze diese Werte einschließlich der Vorzeichen in die Formel ein. Der Ausdruck unter der Wurzel ist 4 plus 5, also 9. Die Wurzel ist daher 3. Das Zeichen ± fordert zwei Rechnungen: einmal 2 plus 3 und einmal 2 minus 3.
Notiere p und q vor dem Einsetzen separat, damit das Minuszeichen aus der Formel nicht mit dem Vorzeichen eines Wertes verwechselt wird. Der Ausdruck außerhalb der Wurzel verschiebt beide Lösungen um denselben Betrag. Die Wurzel liefert dann den Abstand, den du einmal addierst und einmal subtrahierst.
Die Gleichung hat die beiden Lösungen 5 und −1. Beide Werte machen die ursprüngliche Gleichung richtig, wie die folgende Probe zeigt.
Zwei, eine oder keine reelle Lösung
Der Ausdruck unter der Wurzel wird hier D genannt. Sein Vorzeichen verrät dir die Anzahl der verschiedenen reellen Lösungen: Bei positivem D ergeben Plus und Minus zwei verschiedene x-Werte. Bei D gleich null fallen beide x-Werte zusammen. Bei negativem D gibt es keine reelle Wurzel und damit keinen reellen Lösungswert.
In den drei Zeichnungen bleibt p gleich −4, während q von 3 über 4 auf 5 steigt. Die Parabel verschiebt sich dadurch nach oben. Zuerst schneidet sie die x-Achse bei 1 und 3. Dann berührt sie die Achse nur noch bei 2. Schließlich liegt sie vollständig darüber. Eine doppelte Lösung bedeutet also eine einzige Nullstelle, an der die Parabel die Achse berührt.
| Gleichung | Wurzelausdruck | Reelle Lösungen |
|---|---|---|
| x² − 4x + 3 = 0 | D = 1 | 1 und 3 |
| x² − 4x + 4 = 0 | D = 0 | 2 als doppelte Lösung |
| x² − 4x + 5 = 0 | D = −1 | Keine |
Zwei Nullstellen
Eine doppelte Nullstelle
Keine reelle Nullstelle
Satz von Vieta: Nullstellen im Kopf finden
Der Satz von Vieta verbindet die beiden Lösungen mit p und q: Ihre Summe ist −p und ihr Produkt ist q. Für eine Gleichung in Normalform kannst du deshalb nach zwei Zahlen suchen, die gleichzeitig diese beiden Bedingungen erfüllen. Das geht besonders schnell, wenn die Lösungen ganze Zahlen sind.
Achte auf das Minus vor p. Wenn q positiv ist, haben die beiden gesuchten Zahlen dasselbe Vorzeichen. Wenn q negativ ist, haben sie verschiedene Vorzeichen. Findest du kein passendes ganzzahliges Paar, bedeutet das noch nicht, dass es keine Lösung gibt. Die Lösungen könnten Brüche oder Wurzelausdrücke sein. Dann ist die p-q-Formel der verlässlichere Rechenweg.
Bei dieser Funktion lassen sich die Nullstellen mit Vieta finden, ohne zuerst die p-q-Formel auszurechnen:
Hier ist p gleich −5 und q gleich 6. Gesucht sind daher zwei Zahlen mit Summe 5 und Produkt 6. Die Zahlen 1 und 6 haben zwar das richtige Produkt, aber ihre Summe ist 7. Die Zahlen 2 und 3 erfüllen beide Bedingungen.
Die Nullstellen liegen bei x = 2 und x = 3. Setzt du einen dieser Werte ein, wird eine der beiden Klammern null und damit auch ihr Produkt.
Lösungen in der ursprünglichen Gleichung prüfen
Ob die gefundenen Werte 5 und −1 stimmen, zeigt die Probe in der ursprünglichen Gleichung:
Ersetze x in der ursprünglichen Gleichung zuerst durch 5 und dann durch −1. Setze negative Werte in Klammern, bevor du quadrierst. Vergleiche in beiden Fällen das Ergebnis auf der linken Seite mit der rechten Seite 10.
Eine Lösung muss die Gleichung erfüllen, die in der Aufgabe ursprünglich stand. Setzt du nur in eine falsch umgeformte Zwischenzeile ein, kann deine Probe denselben Fehler übernehmen. Irrationale Lösungen lässt du am besten zunächst als Wurzel stehen, weil zu frühes Runden eine korrekte Probe unnötig ungenau macht.
Beide eingesetzten Werte ergeben links 10. Die Probe bestätigt somit die Lösungen 5 und −1.
Zusammenhang mit quadratischer Ergänzung
Die quadratische Ergänzung ist ein Rechenweg, mit dem du eine quadratische Gleichung löst und zugleich die p-q-Formel herleitest. Ziel ist, den linken Ausdruck als Quadrat einer Klammer zu schreiben. Ein Klammerquadrat lässt sich durch Wurzelziehen auflösen. Dadurch kommst du vom x² zu einem Ausdruck mit einfachem x.
Wir starten mit der Normalform und suchen das passende Klammerquadrat. Dafür wird der Koeffizient p halbiert. Die binomische Formel erklärt, warum genau dieser Wert nötig ist. Jede Addition oder Subtraktion erfolgt auf beiden Seiten, damit die Gleichung dieselben Lösungen behält.
Aus der ersten binomischen Formel ergibt sich das folgende Klammerquadrat. Der mittlere Term ist genau px, weil die beiden halben p-Anteile zusammen ein ganzes p ergeben:
Die ersten beiden Terme stimmen mit der Normalform überein. Als letzter Summand steht hier aber das Quadrat von p/2 anstelle von q. Genau diesen Unterschied gleichen wir beim Umformen der Gleichung aus.
Zuerst bringen wir q auf die rechte Seite. Dann addieren wir auf beiden Seiten das Quadrat von p/2. Links steht nun das Klammerquadrat von oben. Wir ziehen die Wurzel und berücksichtigen beide Vorzeichen. Zuletzt ziehen wir p/2 ab:
Damit ist die p-q-Formel hergeleitet. Im Bereich der reellen Zahlen ist das Wurzelziehen nur möglich, wenn rechts keine negative Zahl steht. Eine positive Zahl liefert zwei Vorzeichen und damit zwei Lösungen. Bei Null fallen beide zusammen.
Am Beispiel mit p = −4 und q = −5 lässt sich derselbe Weg mit Zahlen nachvollziehen:
Die Hälfte von −4 ist −2 und ihr Quadrat ist 4. Deshalb ergänzen wir auf beiden Seiten 4. Dadurch wird links aus dem Ausdruck das Quadrat von x − 2. Die rechte Seite wird 9. Eine Zahl mit Quadrat 9 kann 3 oder −3 sein:
Die beiden Lösungen sind also 5 und −1. Du erhältst dieselben Werte wie beim direkten Einsetzen in die p-q-Formel. Die ausführliche Rechnung zeigt, warum die Formel funktioniert und woher ihr Plus-Minus-Zeichen kommt.
Häufige Fehler beim Lösen quadratischer Gleichungen
Wenn nur eine Lösung in deinem Ergebnis steht, kontrolliere, ob die Wurzel tatsächlich null war oder ob du den Minusfall vergessen hast. Ein negativer Wurzelausdruck ist kein Anlass, das Vorzeichen einfach zu entfernen. Schreibe dann ausdrücklich, dass es im Bereich der reellen Zahlen keine Lösung gibt.
- Nur einen Term normieren: Teile jeden Summanden durch dieselbe Zahl: Aus 2x² + 6x − 8 = 0 wird x² + 3x − 4 = 0, nicht x² + 6x − 8 = 0.
- Vorzeichen verlieren: Übernimm p und q mit ihrem vollständigen Vorzeichen. Setze negative Werte in Klammern, damit du das Minus aus der Formel getrennt behandeln kannst.
- Den Minusfall vergessen: Plusminus steht für zwei Rechnungen. Nur wenn die Wurzel null ist, führen beide zum selben Wert.
- Eine negative Zahl unter der Wurzel ändern: Entferne das Minuszeichen nicht einfach. Ein negativer Wurzelausdruck bedeutet, dass es keine reelle Lösung gibt.
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Quadratische Gleichungen weiter verstehen
Wie das Klammerquadrat hinter der p-q-Formel entsteht, erklärt der Artikel Binomische Formeln. Unsicher bei Vorzeichen oder Termen? Im Mathematik-Lernplan Klasse 7/8 findest du die Grundlagen dazu und beim Textaufgaben lösen lernst du, eine passende Gleichung aus der Aufgabenbeschreibung aufzustellen.
Häufige Fragen: p-q-Formel
Kurze Antworten auf häufige Fragen aus dem Unterricht.
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Quellen
- OpenStax: Quadratic equations, zuletzt abgerufen am 8. Oktober 2026.
- OpenStax: Special products, zuletzt abgerufen am 8. Oktober 2026.
- Serlo: Die p-q-Formel zur Lösung quadratischer Gleichungen, zuletzt abgerufen am 8. Oktober 2026.
- Serlo: Satz von Vieta, zuletzt abgerufen am 8. Oktober 2026.
Redaktionell erstellt von der AvisQnect-Redaktion. Zuletzt redaktionell geprüft und aktualisiert am 8. Oktober 2026.