Arithmetik
Welcher Dreisatz passt zur Aufgabe?
Ein Mathe-Tutor kann mit dir proportionale und antiproportionale Zuordnungen unterscheiden und den Rechenweg aufbauen.
Erst den Zusammenhang prüfen
Eine Zuordnung verbindet zwei Größen, etwa die Anzahl gekaufter Hefte mit ihrem Preis. Bei konstantem, also unverändertem Stückpreis sind diese Größen proportional: Doppelt so viele Hefte kosten doppelt so viel. „Mehr bedeutet mehr“ allein reicht aber nicht als Begründung. Der Preis muss wirklich im selben Verhältnis zur Menge steigen.
Antiproportional heißt dagegen: Eine Verdopplung der einen Größe halbiert die andere. Das kann bei Pumpenzahl und benötigter Zeit gelten, wenn dieselbe Arbeit von gleich schnellen Pumpen erledigt wird. Prüfe vor dem Rechnen deshalb nicht nur die Richtung, sondern auch, welche Bedingungen unverändert bleiben.
Typische Formulierungen und Zusammenhänge
Formulierungen wie „je Stück“, „pro Kilogramm“ und „bei gleichem Preis“ weisen oft auf einen proportionalen Zusammenhang hin. „Dieselbe Strecke“, „dieselbe Arbeit“ oder „ein gleich großes Becken“ können auf einen antiproportionalen Zusammenhang hindeuten, wenn mehr Leistung die benötigte Zeit verkürzt. Frage immer zusätzlich: Was bleibt gleich, und wie verändert sich der andere Wert beim Verdoppeln?
Ein einzelnes Wort entscheidet nicht über die Rechenart. „Zeit“ kommt in beiden Arten vor: Mehr Arbeitszeit ergibt bei gleichem Stundenlohn mehr Geld, also proportional. Mehr gleich schnelle Pumpen brauchen für dasselbe Becken weniger Zeit, also antiproportional. Auch Käufe sind nur bei unverändertem Stückpreis ohne Zusatzkosten oder Mengenrabatt proportional.
| Situation | Typische Formulierung | Zusammenhang | Voraussetzung |
|---|---|---|---|
| Hefte und Kaufpreis | „je Heft“, „mehr Hefte kaufen“ | Proportional: doppelte Menge, doppelter Preis | Gleicher Stückpreis, keine Grundgebühr |
| Obstmenge und Kaufpreis | „pro kg“, „bei gleichem Kilopreis“ | Proportional | Preis pro kg bleibt gleich |
| Arbeitszeit und Verdienst | „pro Stunde“, „gleicher Stundenlohn“ | Proportional: mehr Zeit, mehr Geld | Keine Zuschläge oder festen Zusatzbeträge |
| Fahrzeit und zurückgelegte Strecke | „gleich schnell“, „konstante Geschwindigkeit“ | Proportional: mehr Zeit, mehr Strecke | Geschwindigkeit unverändert, keine Pausen |
| Pumpenzahl und benötigte Zeit | „dasselbe Becken“, „gleich starke Pumpen“ | Antiproportional: doppelte Anzahl, halbe Zeit | Gleiche Förderleistung, keine Behinderung |
| Personenzahl und Arbeitsdauer | „dieselbe Arbeit“, „alle arbeiten gleich schnell“ | Antiproportional im vereinfachten Modell | Arbeit vollständig teilbar, keine Wartezeiten |
| Geschwindigkeit und Fahrzeit | „dieselbe Strecke“, „ohne Pausen“ | Antiproportional: doppelte Geschwindigkeit, halbe Zeit | Feste Strecke, jeweils gleichmäßige Fahrt |
Proportionaler Dreisatz
Vier gleich teure Hefte kosten zusammen 6 €. Wie viel kosten sieben Hefte, wenn der Stückpreis gleich bleibt?
Mehr Hefte kosten entsprechend mehr Geld. Der Zusammenhang ist proportional, weil der Preis je Heft gleich bleibt. Rechne zunächst von vier Heften auf ein Heft zurück: Teile in beiden Spalten durch 4. Rechne anschließend von einem auf sieben Hefte hoch: Multipliziere in beiden Spalten mit 7.
Der Zwischenschritt für ein einziges Heft macht die gemeinsame Recheneinheit sichtbar. Jede zusätzliche Einheit kostet dann denselben Betrag, weshalb du den Einzelpreis beliebig oft addieren oder mit der Stückzahl multiplizieren kannst. Dieses Zurückrechnen auf eine Einheit erklärt die drei Zeilen des Dreisatzes.
| Hefte | Preis |
|---|---|
| 4 | 6 € |
| 1 | 1,50 € |
| 7 | 10,50 € |
Sieben Hefte kosten zusammen 10,50 €. Ein Heft kostet 1,50 €, deshalb sind sieben Hefte siebenmal so teuer.
Antiproportionaler Dreisatz
Drei gleich schnelle Pumpen leeren ein Becken in 8 Stunden. Wie lange brauchen sechs solcher Pumpen für dasselbe Becken? Alle Pumpen arbeiten gleichzeitig und behindern sich nicht.
Mehr Pumpen benötigen weniger Zeit für dieselbe Arbeit. Der Zusammenhang ist antiproportional. Eine einzige Pumpe hat dreimal so viel Arbeit wie jede der drei Pumpen und braucht daher 24 Stunden. Sechs Pumpen teilen sich diese Arbeit, deshalb teilst du die 24 Stunden durch 6.
Die Arbeit zum Leeren des Beckens bleibt gleich, sie verteilt sich aber auf unterschiedlich viele Pumpen. Doppelt so viele gleich schnelle Pumpen teilen sich diese Arbeit und brauchen im Modell nur die halbe Zeit. Das Produkt aus Pumpenzahl und Arbeitszeit bleibt deshalb unverändert.
| Pumpen | Zeit |
|---|---|
| 3 | 8 Stunden |
| 1 | 24 Stunden |
| 6 | 4 Stunden |
Sechs Pumpen leeren das Becken in 4 Stunden. Die doppelte Pumpenzahl halbiert hier die benötigte Zeit von 8 auf 4 Stunden.
Die Rechenrichtungen im Vergleich
Beim proportionalen Dreisatz führst du in beiden Spalten dieselbe Operation aus. Beim antiproportionalen Dreisatz verwendest du die entgegengesetzte Operation. Schreibe die Einheit neben die Werte, damit Menge, Preis, Zeit und Leistung nicht durcheinandergeraten.
Ein Quotient ist das Ergebnis einer Division, ein Produkt das Ergebnis einer Multiplikation. Bei einer proportionalen Zuordnung bleibt der Quotient der zusammengehörigen Werte gleich, beispielsweise € pro Heft. Bei einer antiproportionalen Zuordnung bleibt stattdessen ihr Produkt gleich, beispielsweise Pumpenzahl mal Stunden.
| Schritt | Proportional | Antiproportional |
|---|---|---|
| Linke Größe durch 3 | Rechte Größe durch 3 | Rechte Größe mal 3 |
| Linke Größe mal 5 | Rechte Größe mal 5 | Rechte Größe durch 5 |
Dreisatz in der Prozentrechnung
Ein Fahrradhelm kostet 240 € und wird mit 12 % Rabatt angeboten. Wir bestimmen zuerst die Ersparnis und dann den neuen Preis.
Die 240 € entsprechen 100 %. Teile durch 100, um den Wert von 1 % zu finden: 2,40 €. Multipliziere diesen Betrag mit 12, um den Rabatt zu berechnen. Ziehe den Rabatt anschließend vom ursprünglichen Preis ab.
Die Zeile für ein Prozent ist dieselbe Idee wie die Zeile für ein Heft: Du findest den Wert einer gemeinsamen Einheit. Du kannst auch rückwärts von zwölf Prozent zu einhundert Prozent rechnen, wenn der Teilbetrag gegeben ist. Entscheidend ist, dass alle Zeilen dasselbe Ganze und dieselbe Prozentbezugsgröße verwenden.
Du sparst 28,80 €. Der Fahrradhelm kostet nach dem Rabatt 211,20 €.
Wann der Dreisatz nicht passt
Eine Grundgebühr ist ein fester Betrag, der unabhängig von der Menge anfällt. Bei einem Taxi zahlst du beispielsweise eine solche Gebühr zusätzlich zum Preis für die Strecke. Wenn sich die Strecke verdoppelt, verdoppelt sich nur der streckenabhängige Teil. Der Gesamtpreis ist deshalb nicht proportional zur Strecke.
Auch Mengenrabatte verändern den Stückpreis. Mehr Personen verkürzen eine Arbeit nicht beliebig, wenn sie sich behindern oder nicht alle Arbeitsschritte gleichzeitig erledigen können. In solchen Aufgaben brauchst du die tatsächliche Preisregel oder ein anderes Modell. Prüfe bei einer Tabelle, ob derselbe Einzelpreis oder dieselbe Gesamtarbeit wirklich erhalten bleibt.
Das Ergebnis sinnvoll prüfen
Schätze vor dem Rechnen die Richtung ab. Sieben Hefte müssen bei gleichem Stückpreis mehr kosten als vier. Sechs gleiche Pumpen sollten schneller sein als drei. Prüfe anschließend den konstanten Quotienten oder das konstante Produkt der Wertepaarungen.
Die Kontrolle soll den Zusammenhang prüfen und nicht nur denselben Rechenweg noch einmal wiederholen. Teile bei den Heften den jeweiligen Gesamtpreis durch die Stückzahl und vergleiche die Ergebnisse. Multipliziere bei den Pumpen Anzahl und Zeit, denn nur so prüfst du die antiproportionale Annahme.
Stolperfallen beim Dreisatz
Schreibe zunächst einen Satz über die Richtung des Zusammenhangs und begründe ihn mit der unveränderten Bedingung. Wenn dein Ergebnis diesem Satz widerspricht, kontrolliere zuerst die gewählten Rechenrichtungen. Einheiten müssen auch in den Zwischenzeilen zur jeweiligen Spalte passen.
- Immer proportional rechnen: Mehr Pumpen brauchen für dieselbe Arbeit weniger Zeit. Prüfe zuerst, ob der Quotient oder das Produkt konstant bleibt.
- Nur eine Spalte verändern: Beim proportionalen Dreisatz gehört zu jeder Mengenänderung die gleiche Rechenoperation beim Preis. Beim antiproportionalen Zusammenhang sind die Rechenrichtungen entgegengesetzt.
- Einheiten mischen: Minuten und Stunden sind nicht dieselbe Recheneinheit. Wandle alle Zeitangaben um, bevor du sie in derselben Spalte vergleichst.
- Jede Alltagssituation als Dreisatz behandeln: Eine feste Grundgebühr oder ein Mengenrabatt verändert den Zusammenhang. Ohne konstanten Stückpreis darfst du den Gesamtpreis nicht einfach proportional hochrechnen.
- Zwischenergebnisse zu früh runden: Behalte den Einzelwert möglichst genau und runde erst das Endergebnis passend zur Aufgabe. Sonst vervielfacht sich der Rundungsfehler beim Hochrechnen.
Vier Hefte kosten 6 €. Was kosten acht gleich teure Hefte?
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Verhältnisse in weiteren Aufgaben anwenden
Bei der Prozentrechnung kannst du vom ganzen Betrag auf 1 % und anschließend auf den gesuchten Anteil schließen. Der Artikel Textaufgaben lösen hilft dir, proportionale und antiproportionale Angaben aus einer Geschichte herauszufiltern. Mit Brüche multiplizieren und dividieren festigst du die Rechenschritte, wenn Verhältnisse keine ganzen Zahlen ergeben.
Häufige Fragen: Dreisatz
Kurze Antworten auf häufige Fragen aus dem Unterricht.
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Quellen
- OpenStax: Solve proportions and their applications, zuletzt abgerufen am 8. Oktober 2026.
- OpenStax: Solve general applications of percent, zuletzt abgerufen am 8. Oktober 2026.
- Serlo: Direkte und indirekte Proportionalität, zuletzt abgerufen am 8. Oktober 2026.
Redaktionell erstellt von der AvisQnect-Redaktion. Zuletzt redaktionell geprüft und aktualisiert am 8. Oktober 2026.