Brüche multiplizieren und dividieren

Ein ganzer Kuchen besteht aus vier gleich großen Vierteln. Davon sind drei Viertel übrig. Du erhältst zwei Drittel dieses Restes. Welchen Anteil am ursprünglichen ganzen Kuchen erhältst du?

Nimm die drei verbleibenden Viertel vorübergehend als neue Bezugsmenge. Ein Drittel dieser Menge ist genau ein ursprüngliches Viertel. Zwei Drittel dieser Menge sind deshalb zwei ursprüngliche Viertel. Die Multiplikation berechnet also einen Anteil von einem bereits vorhandenen Anteil.

Der Nenner unter dem Bruchstrich nennt die Anzahl gleich großer Teile des Ganzen, der Zähler darüber zählt die betrachteten Teile. Beim Kuchen bleiben alle Viertel gleich groß. Wenn du die drei markierten Viertel als neue Grundmenge betrachtest, besteht diese Menge aus drei Stücken, und zwei Drittel davon sind zwei dieser Stücke. Bezogen auf den ursprünglichen ganzen Kuchen sind das zwei Viertel, also eine Hälfte.

Du erhältst zwei Viertel, also die Hälfte des ursprünglichen ganzen Kuchens. Die zwei Drittel beziehen sich auf den Rest, die Hälfte dagegen auf den ganzen Kuchen.

Beim folgenden Produkt lassen sich gemeinsame Faktoren bereits vor dem Multiplizieren kürzen. So bleiben die Zahlen im Rechenweg kleiner:

Die 14 im Zähler und die 35 im Nenner haben den gemeinsamen Faktor 7. Teile beide durch 7, sodass 2 und 5 übrig bleiben. Die 6 im Zähler und die 9 im Nenner haben den gemeinsamen Faktor 3. Teile beide durch 3, sodass 2 und 3 übrig bleiben. Multipliziere anschließend die verbleibenden Zähler und Nenner.

Ein gemeinsamer Faktor ist hier eine Zahl, durch die sich beide betrachteten Zahlen ohne Rest teilen lassen. Im Beispiel haben 35 und 14 den gemeinsamen Faktor 7: Aus ihnen werden 5 und 2. Die Zahlen 6 und 9 haben den gemeinsamen Faktor 3 und werden zu 2 und 3. Die gleichfarbigen Durchstreichungen zeigen jeweils das zusammengehörige Paar, die kleinen Zahlen den verbleibenden Wert. Das ist erlaubt, weil beide Brüche zusammen ein Produkt mit einem gemeinsamen Gesamtzähler und Gesamtnenner bilden.

Das Produkt ist vier Fünfzehntel. Der Bruch ist vollständig gekürzt, denn 4 und 15 haben keinen gemeinsamen Teiler größer als 1.

Es sind drei Viertel eines Kuchens übrig. Jede Portion soll ein Viertel des ursprünglichen ganzen Kuchens groß sein. Wie viele Portionen kannst du bilden?

Bei dieser Division fragst du, wie oft die Portionsgröße in den Vorrat passt. Jedes der drei vorhandenen Viertel ist genau eine Portion. Rechnerisch ersetzt du das Teilen durch ein Viertel durch das Multiplizieren mit dessen Kehrwert 4.

Du kannst drei Portionen bilden. Das Ergebnis 3 zählt Portionen und bedeutet nicht drei ganze Kuchen.

Die Divisionsregel funktioniert auch bei Brüchen mit verschiedenen Nennern. Das zeigt dieses Beispiel:

Lass den ersten Bruch unverändert. Drehe nur den zweiten Bruch um, sodass aus neun Vierzehnteln vierzehn Neuntel werden, und ersetze das Divisionszeichen durch ein Malzeichen. Nun kannst du genau wie im vorherigen Kürzungsbeispiel mit 7 und mit 3 kürzen.

Das Ergebnis der Division ist vier Fünfzehntel. Dass hier derselbe Wert wie beim vorherigen Produkt entsteht, liegt daran, dass der Kehrwert des zweiten Bruchs genau vierzehn Neuntel ist.

Du hast eineinhalb Liter Saft. Ein Glas fasst drei Viertel Liter. Wie viele volle Gläser kannst du füllen?

Schreibe die gemischte Zahl zunächst als einen einzigen Bruch. Eineinhalb sind drei Hälften. Teile diesen Vorrat durch die Größe eines Glases. Dazu multiplizierst du mit dem Kehrwert von drei Vierteln, also mit vier Dritteln.

Eine gemischte Zahl besteht aus einem ganzen Anteil und einem zusätzlichen Bruchanteil. Bei eineinhalb Kuchen enthält der ganze Kuchen bereits zwei Hälften, dazu kommt eine weitere Hälfte. Erst die insgesamt drei Hälften bilden einen einzigen Bruch, auf den du die Multiplikations- und Divisionsregeln direkt anwenden kannst. Dieser Bruch heißt unecht, weil sein Zähler mindestens so groß wie sein Nenner ist. Sein Wert ist daher mindestens 1, er kann also einen ganzen Kuchen oder mehr beschreiben.

Du kannst genau zwei volle Gläser füllen. Die Antwort zählt Gläser, während die gegebenen Brüche Mengen in Litern beschreiben.

Im folgenden Produkt ist der erste Bruch negativ. Wir betrachten deshalb das Vorzeichen und den Zahlenwert getrennt:

Ein Faktor ist negativ und der andere positiv, deshalb ist das Ergebnis negativ. Multipliziere zunächst die Zähler miteinander und dann die Nenner. Kürze den entstandenen Bruch anschließend durch 2.

Das Ergebnis sind negative drei Zehntel, also −0,3. Der Betrag 0,3 ist kleiner als der Betrag 0,4 des ersten Faktors, weil du mit drei Vierteln multipliziert hast.

• Beide Brüche umdrehen: Drehe nur den zweiten Bruch um: 3/4 : 1/2 ist 3/4 × 2/1, nicht 4/3 × 2/1.
• Zähler addieren: Beim Multiplizieren rechnest du Zähler mal Zähler und Nenner mal Nenner: 2/3 × 3/4 ist 6/12 = 1/2, nicht 5/7.
• Über eine Summe kürzen: Kürze gemeinsame Faktoren, keine einzelnen Summanden. (2 + 3)/2 ist 5/2, nicht 1 + 3.
• Den ganzen Anteil vergessen: Wandle eine gemischte Zahl vollständig in einen Bruch um. Eineinhalb sind drei Hälften und nicht nur eine Hälfte.
• Portionen mit ganzen Kuchen verwechseln: Drei Viertel Kuchen geteilt durch eine Viertelportion ergibt drei Portionen. Prüfe zusätzlich das Vorzeichen und ob die Größe deines Ergebnisses zur Frage passt.