Algebra
Lineare Funktionen verstehen: Steigung, Geraden und Beispiele
Sind Steigung und Achsenabschnitt noch schwer zu unterscheiden?
Ein Mathe-Tutor verbindet mit dir Wertetabellen, Geraden und Textaufgaben zu einem verständlichen Zusammenhang.
Eine Funktion ordnet jedem Eingang einen Ausgang zu
Ein Fahrradverleih verlangt 4 € Grundgebühr und zusätzlich 3 € pro Stunde. Du möchtest vor der Buchung wissen, wie viel zwei, drei oder fünf Stunden kosten. Eine lineare Funktion beschreibt alle diese Zuordnungen auf einmal: Jede weitere Stunde erhöht den Preis um denselben Betrag. Der Grundpreis fällt dagegen auch schon vor der ersten Nutzungsstunde an.
Eine Funktion ist eine eindeutige Zuordnung. Für jeden zugelassenen x-Wert gibt es genau einen y-Wert. Der Graph einer linearen Funktion ist eine Gerade. In der Schule umfasst der Begriff oft auch Geraden mit einem von null verschiedenen Achsenabschnitt.
Die Zahl m beschreibt die Steigung, b den y-Achsenabschnitt. Der Funktionswert kann als y oder als f(x) geschrieben werden. Die Buchstaben sind Bezeichnungen und keine zusätzlichen Rechenoperationen:
Im Modell setzt du für x die Nutzungsdauer ein und erhältst den Preis als Funktionswert. Anders als eine Gleichung mit nur einem gesuchten Wert beschreibt die Funktion einen ganzen Zusammenhang. Solche Modelle helfen beim Vergleichen von Tarifen, bei gleichförmigen Bewegungen oder beim Berechnen von Materialkosten. Sie gelten nur, solange der Preis pro Einheit oder die Änderungsrate tatsächlich konstant bleibt.
Die Steigung als Änderung pro Schritt
Die Steigung gibt an, um wie viel sich y ändert, wenn x um eine Einheit wächst. Eine positive Steigung bedeutet Anstieg, eine negative Abfall. Bei null bleibt der Funktionswert konstant.
Bei einer Steigung von zwei gehst du für einen Schritt nach rechts zwei nach oben. Bei einer Steigung von einem Halb gehst du beispielsweise zwei nach rechts und einen nach oben. Beide Schrittlängen müssen zusammenpassen.
Die Einheit der Steigung ergibt sich aus der senkrechten Größe geteilt durch die waagerechte. Beim Verleih sind das € pro Stunde, bei einem Weg-Zeit-Diagramm Meter pro Sekunde. Die Steigung ist also nicht bloß die optische Steilheit der Zeichnung. Wenn du die Achsen anders skalierst, sieht dieselbe Gerade steiler oder flacher aus, obwohl ihr berechneter Anstieg gleich bleibt.
Der y-Achsenabschnitt ist der Wert bei null
Setzt du für x null ein, bleibt der Achsenabschnitt übrig. Er zeigt, wo die Gerade die senkrechte y-Achse schneidet. In einer Kostenfunktion kann er eine feste Grundgebühr darstellen.
Nur wenn dieser Anfangswert null ist, geht die Gerade durch den Ursprung und die Zuordnung ist proportional. Eine gleichmäßige Änderung allein reicht für Proportionalität nicht aus.
Wertetabelle und Gerade zeichnen
Für die Gerade mit Steigung zwei und Achsenabschnitt eins setzt du mehrere x-Werte ein. Zeichne die Punkte in ein Koordinatensystem mit gleichmäßig eingeteilten Achsen und verbinde sie mit einer Geraden. Zwei verschiedene Punkte bestimmen die Gerade, ein dritter dient als Kontrolle.
Die Zeichnung markiert die vier Tabellenpunkte einschließlich (−1|−1) und den Achsenschnittpunkt (0|1). Das Steigungsdreieck zeigt einen Schritt nach rechts und zwei nach oben. Der horizontale Achsenstrich bei f(x) = 1 bleibt neben dem markierten Punkt sichtbar.
| x | f(x) |
|---|---|
| −1 | −1 |
| 0 | 1 |
| 1 | 3 |
| 2 | 5 |
Aus zwei Punkten die Gleichung bestimmen
Bestimme zuerst die Steigung aus der Differenz der y-Werte geteilt durch die Differenz der x-Werte. Verwende in Zähler und Nenner dieselbe Reihenfolge der Punkte, sonst erhältst du ein falsches Vorzeichen.
Gesucht ist die Gerade durch die folgenden Punkte:
Die Steigung ist zwei. Setze anschließend die Koordinaten eines Punktes in die Grundform ein und löse nach dem Achsenabschnitt auf:
Die gesuchte Funktion lautet f(x) = 2x + 1. Beide Punkte erfüllen diese Zuordnung.
Nullstellen und Schnittpunkte berechnen
Eine Nullstelle ist ein x-Wert, bei dem der Funktionswert null ist. Dort schneidet die Gerade die waagerechte Achse. Setze den Funktionsterm gleich null und löse die lineare Gleichung.
Für einen Schnittpunkt zweier Funktionsgraphen setzt du ihre Terme gleich. Berechne danach auch den gemeinsamen y-Wert. Bei parallelen, verschiedenen Geraden gibt es keinen Schnittpunkt, bei identischen Geraden unendlich viele.
Unterscheide die mathematische Lösung von einer sinnvollen Anwendung. Eine negative Nullstelle kann beim Verlängerungsgraphen richtig sein, aber keine buchbare negative Mietdauer darstellen. Beim Schnittpunkt zweier Kostenfunktionen erfährst du dagegen, ab welcher Nutzung die Tarife gleich teuer sind. Für größere und kleinere Nutzungswerte musst du anschließend noch prüfen, welcher Graph niedriger liegt.
Eine lineare Funktion im Alltag verwenden
Ein Verleih verlangt 4 € Grundgebühr und 3 € je Stunde. Die Zeit t wird in Stunden und der Preis K(t) in € angegeben. Die Grundgebühr ist der Achsenabschnitt, der Stundenpreis ist die Steigung.
Wie teuer sind zwei Stunden nach diesem Modell?
Setze zwei Stunden für die Zeit ein. Multipliziere erst den Stundenpreis mit der Zeit und addiere dann die feste Gebühr:
Zwei Stunden kosten 10 €. Das Modell gilt nur im beschriebenen Tarifbereich, hier für nichtnegative Mietzeiten.
Steigung und Anfangswert nicht verwechseln
- Steigung und Startwert vertauschen: Bei ist die Steigung drei und der Anfangswert vier. Der Faktor gehört zur Veränderung pro x-Schritt.
- Differenzen in anderer Reihenfolge bilden: Berechne entweder oder beide Differenzen umgekehrt. Nur eine umzudrehen verfälscht das Vorzeichen.
- Kästchen ohne Skalierung zählen: Zwei Kästchen können zehn Einheiten bedeuten. Lies die Beschriftung, bevor du ein Steigungsdreieck auswertest.
- Jede Gerade proportional nennen: Die Gerade verläuft nicht durch den Ursprung. Eine proportionale Zuordnung benötigt den Achsenabschnitt null.
- x- und y-Achsenabschnitt verwechseln: Für den y-Achsenabschnitt setzt du x gleich null. Für die Nullstelle setzt du den Funktionswert gleich null.
- Eine senkrechte Gerade als Funktion behandeln: Bei gehören zu demselben x mehrere y-Werte. Diese Gerade ist kein Graph einer Funktion y = f(x).
Was bedeutet die Steigung drei?
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Mit linearen Gleichungen berechnest du Nullstellen und Schnittpunkte. Für proportionale Anwendungen helfen Dreisatz und das systematische Vorgehen bei Textaufgaben.
Häufige Fragen
Antworten auf typische Fragen zu Regeln, Beispielen und Grenzen.
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Quellen
- OpenStax: Slope-intercept form, zuletzt abgerufen am 14. Oktober 2026.
- Westermann kapiert.de: Lineare Funktionen beschreiben, zuletzt abgerufen am 14. Oktober 2026.
Redaktionell erstellt von der AvisQnect-Redaktion. Zuletzt redaktionell geprüft und aktualisiert am 14. Oktober 2026.