Lineare Gleichungen lösen: Rechenwege, Beispiele und Probe

Warum wir Gleichungen brauchen

Du kennst einen Gesamtpreis, suchst aber die Anzahl der gekauften Dinge: Genau dabei helfen Gleichungen. Eine Fahrradwerkstatt verlangt beispielsweise 5 € Grundgebühr und 3 € für jedes verwendete Ersatzteil desselben Typs. Auf der Rechnung stehen insgesamt 17 €. Die unbekannte Anzahl nennen wir x. Statt verschiedene Zahlen zu raten, beschreiben wir den Zusammenhang mit einer Gleichung.

Die linke Seite beschreibt, wie der Preis entsteht, die rechte den bekannten Gesamtpreis. Gesucht ist genau die Anzahl, bei der beide Seiten übereinstimmen. Weil jedes weitere Ersatzteil den Preis immer um dieselben 3 € erhöht, ist die Gleichung linear. Ähnliche Situationen findest du bei Taxikosten, Handytarifen mit Grundgebühr oder der Frage, wie lange du für ein Sparziel brauchst.

Was eine Gleichung und ihre Lösung bedeuten

Ein Term ist ein Rechenausdruck, beispielsweise eine Zahl oder eine Summe mit einer Variablen. Eine Variable ist ein Platzhalter für eine Zahl. Das Gleichheitszeichen verbindet zwei Terme und behauptet, dass ihre Werte übereinstimmen.

Eine lineare Gleichung mit einer Variablen lässt sich nach dem Zusammenfassen in die folgende Form bringen. Die Variable kommt dabei höchstens in der ersten Potenz vor. Wir betrachten zunächst reelle Zahlen, also auch Brüche und negative Zahlen.

In der allgemeinen Form ist x die gesuchte Variable. Die Buchstaben a, b und c sind vorgegebene Zahlen, die du in einer konkreten Aufgabe durch die jeweiligen Werte ersetzt. a ist der Faktor vor x, b eine zusätzlich addierte Zahl und c der Wert auf der rechten Seite. Bei unserer Werkstatt ist a = 3, b = 5 und c = 17. Für eine eindeutig lösbare Gleichung dieser Form muss a von null verschieden sein.

Linear bedeutet nicht einfach „kurz“ oder „ohne Klammern“. Entscheidend ist, dass sich die Gleichung zu dieser Form vereinfachen lässt. Eine Variable im Quadrat, im Nenner oder unter einer Wurzel gehört zunächst zu anderen Gleichungstypen. Die Frage nach unbekannten Zahlen bleibt ähnlich, aber die erlaubten Verfahren und möglichen Lösungsmengen unterscheiden sich.

Warum beide Seiten gleich verändert werden

Stell dir die beiden Seiten als ausgeglichene Waage vor. Nimmst du links etwas weg, musst du rechts denselben Betrag wegnehmen. Solche Äquivalenzumformungen verändern die Schreibweise, erhalten aber die Lösungsmenge.

Du darfst auf beiden Seiten dieselbe Zahl addieren oder subtrahieren und mit derselben von null verschiedenen Zahl multiplizieren oder durch sie teilen. Durch null zu teilen ist nicht definiert. Das vermeintliche „Herüberbringen“ ist deshalb nur eine Abkürzung für eine Operation auf beiden Seiten.

In der zweiten Zeile ist das Subtrahieren von fünf auf beiden Seiten farbig hervorgehoben. Links heben sich plus fünf und minus fünf auf, rechts bleiben zwölf. Danach teilst du beide Seiten durch drei. Der Doppelpfeil bedeutet „ist gleichwertig zu“: Alle Zeilen haben dieselbe Lösungsmenge. Der senkrechte Strich kündigt die Operation an, die du als Nächstes auf beide Seiten anwendest.

Eine Gleichung Schritt für Schritt lösen

Steht x auf beiden Seiten, sammelst du zuerst alle Variablenterme auf einer Seite. Bei der folgenden Gleichung subtrahieren wir auf beiden Seiten 2x. Damit verschwindet der Variablenterm rechts. Danach addieren wir sieben auf beiden Seiten, um links nur noch den Term mit x zu behalten. Erst zuletzt teilen wir durch dessen Faktor.

Der Ausdruck hinter dem senkrechten Strich gehört nicht zur Gleichung, sondern erklärt den nächsten Schritt. Nach jedem Pfeil steht die vereinfachte, gleichwertige Gleichung. Du kannst die Variablenterme auch rechts sammeln. Wichtig sind nicht eine bestimmte Seite oder auswendig gelernte Vorzeichenwechsel, sondern dieselbe Rechenoperation auf beiden Seiten.

Klammern zuerst sorgfältig auflösen

Ein Faktor vor einer Klammer multipliziert jeden Summanden in der Klammer. Eine Minusklammer ist eine Multiplikation mit minus eins, deshalb wechseln alle Vorzeichen darin. Im Beispiel wird aus dem Minus vor der zweiten Klammer deshalb minus x plus eins. Schreibe diese Zwischenzeile aus, bevor du Terme zusammenfasst.

Erst nach dem Auflösen der Klammern rechnest du gleichartige Terme zusammen. Variablenterme und reine Zahlen bleiben dabei getrennt. Jeder folgende Doppelpfeil ist ein Äquivalenzpfeil, weil das Ausmultiplizieren und die anschließenden Umformungen die Lösungsmenge erhalten. Ein einfacher Folgerungspfeil würde diese Gleichwertigkeit nicht ausdrücklich zeigen.

Brüche durch einen gemeinsamen Nenner beseitigen

Ist x nur im Zähler eines Bruchs enthalten, kann die Gleichung weiterhin linear sein. Bestimme ein gemeinsames Vielfaches aller Nenner und multipliziere die gesamte Gleichung damit. Diese Zahl muss jeden Summanden auf beiden Seiten treffen, auch eine ganze Zahl ohne sichtbaren Nenner.

Bei den Nennern zwei und drei eignet sich sechs. Schreibe die Multiplikation zunächst vor jeden Summanden und kürze erst danach. So siehst du, warum aus dem Bruch links der Faktor drei und aus dem Bruch rechts der Faktor zwei entsteht. Wenn x selbst im Nenner steht, musst du zusätzlich ausgeschlossene Werte beachten und verwendest ein anderes Verfahren.

Eine, keine oder unendlich viele Lösungen

Verschwindet die Variable vollständig, entscheidest du anhand der verbleibenden Aussage. Eine falsche Aussage kann kein Einsetzen retten. Eine stets wahre Aussage gilt dagegen für jeden Wert der Grundmenge.

Teile nicht durch einen Faktor, der null sein könnte, ohne diesen Fall gesondert zu behandeln. Bei einer konkreten Zahl vor der Variablen ist die Unterscheidung übersichtlich:

Die Probe und eine konkrete Textaufgabe

Bei der Probe setzt du den berechneten Wert in die ursprüngliche Gleichung ein. Die Lösung x = 5 aus der Schritt-für-Schritt-Rechnung liefert links und rechts jeweils 18. So prüfst du, ob beim Umformen ein Rechenfehler entstanden ist. Eine Probe bestätigt den eingesetzten Wert, ersetzt aber nicht den nachvollziehbaren Lösungsweg.

Nora hat 12 € gespart und legt jede Woche weitere 4 € zurück. Nach wie vielen Wochen hat sie 40 €? x steht für die Anzahl der Wochen. Der Startbetrag wird einmal addiert, der wöchentliche Betrag x-mal. Die Rechnung muss also den bereits vorhandenen Betrag und den wachsenden Sparbetrag berücksichtigen.

Diese Umformungsfehler vermeiden