Potenzen und Potenzgesetze: Bedeutung, Regeln und Beispiele

Basis und Exponent unterscheiden

Verdoppelt sich die Anzahl von Spielsteinen in jeder Runde, entstehen aus einem Stein nach einer Runde zwei, nach zwei Runden vier und nach drei Runden acht. Die wiederholte Multiplikation mit demselben Faktor lässt sich kurz als Potenz schreiben. Das hilft auch bei Flächen und Volumen, Zinsmodellen oder sehr großen und sehr kleinen Messwerten. Eine Verdoppelung pro Schritt ist dabei ein Potenzmodell und kein linearer Zuwachs.

Die Basis ist die Zahl, die wiederholt als Faktor vorkommt. Der Exponent sagt bei positiven ganzen Zahlen, wie oft sie vorkommt. Multipliziere also die Basis mit sich selbst und nicht mit dem Exponenten.

In der folgenden Potenz ist drei die Basis und vier der Exponent. Die ausführliche Multiplikation erklärt den Wert:

Gleiche Basis: multiplizieren und dividieren

Beim Multiplizieren gleichbasiger Potenzen werden die Faktorlisten aneinandergehängt. Deshalb addierst du ihre Exponenten. Beim Dividieren kürzt du gemeinsame Faktoren und subtrahierst entsprechend die Exponenten.

Die Divisionsregel setzt eine von null verschiedene Basis voraus. Verschiedene Basen dürfen nicht allein deshalb zusammengefasst werden, weil die Ausdrücke ähnlich aussehen.

Eine Potenz erneut potenzieren

Wird eine Potenz mehrfach mit sich selbst multipliziert, wiederholt sich ihre gesamte Faktorliste. Daher werden die Exponenten multipliziert. Das ist eine andere Situation als das Produkt zweier bereits nebeneinanderstehender Potenzen.

Bei der folgenden Rechnung wird eine Gruppe von drei Faktoren zwei viermal wiederholt. Insgesamt entstehen zwölf Faktoren zwei:

Du kannst dir die Regel mit Klammern erklären: Das Quadrat einer dritten Potenz enthält zwei Gruppen mit jeweils drei gleichen Faktoren. Insgesamt werden daher sechs Faktoren multipliziert. Die Exponenten werden hier multipliziert, weil du Gruppen gleicher Länge wiederholst. Bei der Multiplikation zweier einzelner Potenzen zählst du dagegen die Faktoren zusammen und addierst ihre Exponenten.

Produkte und Quotienten mit gleichem Exponenten

Ein Exponent außerhalb einer Produktklammer wirkt auf jeden Faktor. Beim Quotienten gilt dasselbe für Zähler und Nenner. Der Nenner darf nicht null sein. Die Regel entsteht, indem du die Faktoren der ausgeschriebenen Multiplikation neu gruppierst.

Eine Summe ist dagegen kein Produkt. Beim Quadrieren einer Summe entstehen zusätzlich gemischte Produkte. Dafür brauchst du beispielsweise die binomischen Formeln.

Null und negative Exponenten

Für eine von null verschiedene Basis ergibt der Exponent null den Wert eins. Das passt zur Divisionsregel: Eine Potenz geteilt durch sich selbst ergibt eins, während sich die Exponenten zu null subtrahieren.

Ein negativer Exponent bedeutet Kehrwert und nicht negatives Ergebnis. Die Basis darf dabei nicht null sein. Die Schreibweise null hoch null erhält in der elementaren Schulrechnung keinen pauschal festgelegten Wert.

Ein negativer Exponent bezeichnet einen Kehrwert und macht das Ergebnis nicht automatisch negativ. Eine dritte Potenz von zwei enthält drei Faktoren zwei. Mit dem Exponenten minus drei steht dieses Produkt im Nenner. Die Nullregel ergibt sich ebenfalls aus dem Kürzen gleicher Potenzen. Für die Basis null funktioniert diese Begründung nicht, deshalb gehört die Einschränkung „Basis ungleich null“ ausdrücklich dazu.

Vorzeichen und Klammern verändern die Basis

Steht eine negative Zahl vollständig in der Klammer, gehört ihr Minus zur Basis. Eine gerade Anzahl negativer Faktoren ergibt ein positives Produkt, eine ungerade Anzahl ein negatives.

Ohne Klammer wird die Potenz vor dem vorangestellten Minus berechnet. Deshalb haben die folgenden Ausdrücke verschiedene Werte:

Zehnerpotenzen und wissenschaftliche Notation

Zehnerpotenzen helfen bei sehr großen und sehr kleinen Zahlen. In wissenschaftlicher Notation steht vor der Zehnerpotenz eine Zahl mit Betrag mindestens eins und kleiner als zehn. Der Exponent beschreibt die Verschiebung des Dezimalzeichens.

Beim Multiplizieren solcher Zahlen rechnest du zunächst die Vorfaktoren und die Zehnerpotenzen getrennt aus. Falls nötig, bringst du das Ergebnis danach wieder in die normierte Form.

Potenzregeln gezielt statt nach Gefühl anwenden